Принадлежность элемента множеству

Понятие множества

Создателем теории множеств был Георг Кантор. Георг Кантор (Cantor) (1845—1918) — немецкий математик.

Определение (по Кантору) Множество S есть любое собрание определенных и различимых между собой объектов нашей интуиции или интеллекта, мыслимое как единое целое. Эти объекты называются элементами множества.

Существенным пунктом канторовского понимания множества является то, что собрание объектов «мыслится как единое целое», т.е. само рассматривается как один предмет.

Под множеством понимается некоторая, вполне определенная совокупность объектов или элементов.

В дальнейшем будем использовать стандартные обозначения числовых множеств:

ü N — множество натуральных чисел;

ü Z — множество целых чисел;

ü Q — множество рациональных чисел;

ü R — множество вещественных чисел;

ü C — множество комплексных чисел.

Принадлежность элемента множеству

Если а есть один из объектов множества А, мы говорим, что а есть элемент А, или а принадлежит А. Принадлежность элемента а множеству А записывается как а А. Если а не является элементом А, это записывается как а А.

Об элементах говорят, что они принадлежат множеству, и записывают это так: x ∈ A (читается: «x принадлежит множеству A», или «x является элементом множества A»). Допускается запись: x 1, x 2,..., x n ∈ A, если все эти элементы принадлежат множеству A. Запись x ∉ A означает, что x не принадлежит множеству A.

Однозначно определенное множество X, элементами которого являются предметы x₁, x₂,..., x_n, будем обозначать X = {x₁, x₂,..., x_n}.

Если множество X конечное, то количество элементов в множестве обозначается |X|.

Например, если X = {a, b, c}, то |X| = 3.

Порядок следования элементов в множестве не имеет значения. Например, {a, b, c} и {c, a, b} — это одно и то же множество.

Элементы какого-либо множества сами могут быть множествами. Например, множество A = {{1, 3}, {2, 4}, {5, 6}} есть множество из трех элементов (|A| = 3), а именно: {1, 3}, {2, 4} и {5, 6}. Множества B = {{1, 2}, {2, 3}} и C = {1, 2, 3} – различные множества, так как элементами первого являются {1, 2}, {2, 3}, и |B|= 2, а элементами второго — 1, 2 и 3, |C| = 3.

Множества D = {{1, 2}} и G = {1, 2} также различны, так как первое — одноэлементное множество, имеющее единственным своим элементом {1, 2}, а второе имеет своими элементами 1 и 2.