Метод математической индукции

Простейшие понятия и обозначения теории множеств и математической логики

Математическая логика имеет дело с высказываниями простыми и составными

Пусть a, b – высказывания a V b дизъюнкия

a˄ b - логическое И конъюнкция

Множества

Множества – это рассматриваемое как единое целое совокупность вполне объединённых и различимых между собой объектов нашего восприятия или мысли

Объекты из которых состоит множество называются элементами

а ϵ А

Способы задания множеств

А) Множества можно задавать перечисляя его элементы

1. У множества конечное число элементов. Такое множество называется конечным

2. Если совокупность элементов не является конечным множество называется бесконечным. В этом случае с помощью перечисления множества можно задать только тогда когда его элементы можно представить в виде последовательности

В общем случае бесконечное множество способом перечисления задать невозможно.

Б) С помощью характеристического свойства

Пусть p(x) некоторые свойства которому удовлетворяют все элементы данного множества M и не удовлетворяют никакие другие

M={x |P(x)}

Пример:

Q= {p/q| P п ϵ Z q ϵ N}

Пусть a, b множества

(3)

Говорят что A=B

(4)

Другими словами каждый элемент множества А является элементом множества В (каждое множество состоит из одних и тех же элементов)

Для того что бы два множества были равны необходимо и достаточно что бы одно множество было подмножеством другого

Нулевое множество

(5)

Метод математической индукции

Метод математической индукции опирается на принцип математической индукции

Пусть P(n) (утверждение зависит от нат. аргумента) если это утверждение верно при значении аргумента равного единице и если из справедливости этого рассуждения для натурального К

Следует его справедливость для К+1 то утверждение верно для любого натурального значение аргумента.

(6)

Рассмотрим как применяется метод математической индукции P(n)

1. N=1 P(1) верно?? (Базис индукции или основание индукции)

2. N=K, P(k) предположим верно (индуктивное предложение или гипотеза индукции)

3. N=k+1 Следует ли из индуктивного предложения индуктивность для k+1 (индуктивный переход)

4. Если основание индукции выполняется и из индуктивного предложения индуктивный переход получается то делают вывод что утверждение верно для любого натурального N