![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Принцип оптимальности и уравнения Беллмана⇐ ПредыдущаяСтр 20 из 20
Принцип оптимальности. На каждом шаге управление выбирается так, чтобы оно в совокупности со всеми оптимальными управлениями на всех последующих шагах приводило к наилучшему суммарному показателю эффективности. Т.е. управление должно выбираться исходя из оптимальности управления в целом, а не только на каком-то конкретном шаге. В основу этого принципа положены особенности модели ДП. На основе данного принципа были сформулированы рекуррентные формулы Беллмана. Применение данных формул возможно на базе обратной или прямой схемы Беллмана. В обоих случаях Обратная схема Беллмана. При обратной схеме оптимизация осуществляется в результате обратного движения от последнего шага к первому. Сначала определяется оптимальная стратегия управления на n -ом шаге, затем на двух последних шагах, потом на трех последних шагах и т.д. до первого шага. n -й шаг: Оптимальный показатель эффективности n –го шага (n-1)-ый шаг к -ый шаг ……………… 1 -ый шаг Таким образом, в результате прохождения всех шагов от последнего к первому определяется оптимальное значение целевой функции. Чтобы найти оптимальную стратегию управления, т.е. определить решение задачи - На первом шаге в качестве оптимального управления Процесс решения можно представить в виде схемы: Прямая схема Беллмана При прямой схеме процесс поиска решения выполняется в направлении от первого шага к последнему. Сначала определяют оптимальную стратегию управления на первом шаге, затем на двух первых шагах, затем на трех первых шагах и т.д. до последнего шага. 1 шаг На данном шаге состояние системы - 2 шаг
…………….. k – ый шаг …………….. n- ый шаг В результате прохождения всех шагов от первого к последнему определяется оптимальное значение целевой функции, которое приравнивается оптимальному показателю эффективности n -го шага Поиск оптимальной стратегии можно представить в виде схемы:
Общая схема применения метода ДП
1. Выбирается способ деления процесса управления на шаги. 2. Определяются параметры состояния 3. Записываются уравнения состояний 4. Вводится целевая функция. 5. Вводится в рассмотрение условные максимумы (минимумы) 6. Записываются основные уравнения для выбранной схемы Беллмана. 7. Последовательно решаются записанные уравнения Беллмана и получаются две последовательности функций: 8. После выполнения условной оптимизации определяется оптимальное решение поставленной задачи
Задача распределения средств между предприятиями Задача распределения ресурсов между предприятиями является задачей динамического программирования. Пусть имеется некоторая сумма средств, которую необходимо вложить в одно или несколько предприятий, чтобы получить максимальную прибыль от инвестирования. Предполагается, что в каждое из рассматриваемых предприятий может быть вложена как вся сумма инвестиций, так и частично, либо в предприятие может быть ничего не вложено, если инвестиции в него не эффективны. Для каждого предприятия должен быть рассчитан показатель эффективности инвестиций, который определяется в результате решения задачи ЛП о планировании производства. Математическая модель для каждого вида предприятия имеет вид: Целевая функция В модели использованы следующие обозначения:
В результате решения данной задачи будет получена величина дополнительного дохода от работы предприятия, которая представляет собой разницу прибыли при выделении инвестиций и прибыли, если инвестиции не производятся. Вычисленные методами линейного программирования показатели эффективности деятельности каждого предприятия в зависимости от объема получаемых финансовых средств в дальнейшем используются для нахождения оптимального распределения средств между предприятиями методами динамического программирования. Предполагается, что: 1. дополнительный доход каждого предприятия не зависит от объемов вложения средств в другие предприятия; 2. дополнительный доход каждого предприятия выражается в одних и тех же единицах; 3. совокупный дополнительный доход равен сумме дополнительных доходов, полученных каждым предприятием. Для определения оптимальных средств инвестирования необходимо пройти следующие этапы: 1. интервал изменения выделяемых средств разбивается на элементарные отрезки; 2. для заданных значений выделяемых средств определяются показатели эффективности для всех предприятий; 3. по обратной (прямой) схеме используются уравнения Беллмана; 4. в обратной (прямой) последовательности, начиная от
Пример. Планируется деятельность 4 промышленных предприятий на очередной год. Необходимо между ними распределить 400 единиц ограниченного ресурса Q. Каждое предприятие i в зависимости от объема выделенных средств x получает дополнительный доход fi(x). Распределение ресурсов производится с точностью 80 единиц. Необходимо определить оптимальное распределение средств между предприятиями, обеспечивающее максимальную эффективность деятельности всех предприятий. Объемы получаемых дополнительных доходов в зависимости от выделенных ресурсов x представлены в таблице 1. Таблица 1
Рассмотрим обратную схему Беллмана. Согласно обратной схеме Беллмана начинаем с определения условно оптимальных капиталовложений, выделяемых для последнего четвертого (n -ого) предприятия. Для этого находим значения 4 шаг. Показатель эффективности 4-ого предприятия, равный суммарному показателю эффективности на всех шагах определяется как 3 шаг Находим - суммарный показатель эффективности деятельности 3 и 4 предприятий
2 шаг Вычислим объединённый показатель эффективности деятельности 2, 3 и 4 предприятий - 1 шаг Объединённый показатель эффективности деятельности 4-х предприятий - Таблица 2
Чтобы найти оптимальную стратегию управления, необходимо рассмотреть всю последовательность шагов от последнего к первому. В результате решения задачи распределения средств между предприятиями получили, что для обеспечения максимальной эффективности деятельности 4-х предприятий, равной 203 у.е., 1-ому и 2-ому предприятиям следует не выделять ресурсов, 3 предприятию необходимо выделить 240 единиц ресурса, 4-ому – 160 единиц.
|