Уравнения Максвелла и граничные условия

Электромагнитное поле с электрической компонентой E (В/м) и магнитной – H (А/м) в безграничной среде с поляризацией P и намагниченностью M описывается уравнениями Максвелла в дифференциальной форме в виде четырех известных законов, как [1]:

· Закон Ампера

, (1.1)

· Закон Фарадея

, (1.2)

· Закон Остроградского--- Гаусса для электрического поля

, (1.3)

· Закон Гаусса для магнитного поля

. (1.4)

Здесь и J плотность заряда и плотность тока соответственно. Константы в уравнениях Максвелла представляют собой:

(А·с/В·м) = 8, 85 10^-12 Ф/м диэлектрическую константу свободного пространства (вакуума) и (В·с/А·м) магнитную проницаемость свободного пространства.

В отсутствие дисперсии в линейной и изотропной среде электрическое и магнитное поле связаны соответственно с поляризацией и намагниченностью среды, как и , где скаляры абсолютной электрической (коэффициент поляризуемости) и магнитной восприимчивости среды соответственно. На основании этого мы можем записать

(1.5)

где и диэлектрическая постоянная и магнитная проницаемость среды, относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости среды. Тогда уравнения (1.3) и (1.4) запишутся в виде:

(1.6)

Существует понятие идеальной среды, для которой необходимо выполнение следующих условий [2]:

Локальность - взаимно-однозначное соответствие плотности тока и напряженности электрического поля в каждой точке среды

Однородность (гомогенность) - инвариантность по отношению к началу координат

Отсутствие дисперсии - взаимно-однозначное соответствие во времени в любой точке, в любой момент времени

Линейность среды - линейная комбинация напряженности поля может быть представлена линейной комбинацией токов

Изотропность - инвариантность по отношению к повороту осей координат.

В случае диэлектрика, для которого , вводят так называемый ток смещения

.

В случае проводника () и получим закон Ома в дифференциальной форме.

На основании (1.6) и выражения для полного тока получим закон сохранения заряда:

. (1.7)

К понятию идеальная среда мы вернемся ниже, когда будем рассматривать законы сохранения энергии электромагнитного поля. В идеальном проводнике электромагнитное поле и плотность зарядов равны нулю.

В материальной среде имеет место поляризация за счет внешнего поля (E, H):

,

где - вектор электрической поляризации (плотность электрического момента или электрический момент единицы объема); , здесь - вектор намагниченности (плотность магнитного момента).

Соотношение непрерывности (граничные условия)

Из (1.1) - (1.4) следует, что для границы раздела двух сред 1 и 2 (рис.1.1) с нормалями n₁ и n₂ можно записать граничные условия в виде:

1.тангенциальные составляющие вектора E:

, (1.8)

2. тангенциальные составляющие вектора H:

, (1.9)

3. нормальные составляющие вектора B:

, (1.10)

4. нормальные составляющие вектора D:

. (1.11)

Рис.1.1 Преломление света на границе раздела сред

При решении электродинамических задач, как правило, заданы источники: распределение зарядов и токов , пространственные границы и параметры среды - . Неизвестными являются напряженности и индукции электрического и магнитного поля во всех точках пространства в любой момент времени. Уравнения Максвелла с материальными уравнениями и условиями непрерывности составляют систему уравнений в частных производных с граничными условиями. В большинстве случаев система имеет точное решение. Для приближенных решений необходимо сделать ряд допущений. Примерами таких допущений являются гипотеза о гармонических колебаниях и приближение геометрической оптики.