Прикладне використання методу множників Лагранжа

Розглянемо економічний зміст множників Лагранжа. Для цього розглянемо задачу нелінійного програмування стосовно визначення оптимального плану виробництва продукції при обмежених ресурсах:

.

Головною метою виробництва продукції є отримання найбільшого прибутку від реалізації, тому цільовою функцією Z задачі є прибуток від реалізації продукції обсягом одиниць. Зауважимо, що функція - нелінійна.

Для виробництва продукції використовується т видів сировини, обсяги запасів яких обмежені і становлять () одиниць. Запишемо систему нерівностей

() у вигляді

().

Тобто, якщо - обсяг сировини і -гo виду, що використовується для виробництва всієї продукції, то - залишок цього ресурсу після її виробництва. Якщо , то сировина використана повністю; якщо , то на виробництво продукції використана не вся сировина; якщо , то наявної сировини не вистачає для виробництва продукції.

Розглянемо функцію Лагранжа для описуваної задачі:

Очевидно, що , тобто ця похідна показує, як змінюється значення цільової функції залежно від обмежень. Множники Лагранжа є двоїстими змінними задачі про використання ресурсів. Вони можуть бути ціною, за якою на ринку продається чи купується одиниця і -го виду сировини. Якщо і , то можна продати залишки сировини і отримати додатковий прибуток в розмірі . Якщо ж , то можна купити потрібну кількість, витративши грошових одиниць і забезпечити виробництво продукції обсягом . Функцію Лагранжа можна трактувати як загальний прибуток від виробництва, який містить прибуток від реалізації виготовленої продукції f(x) та прибуток від продажу залишків сировини (або витрати на придбання потрібної т кількості сировини) .