Построение равноугольной спирали с использованием чисел Фибоначчи

Начнем с квадрата со стороной, равной единице, пристроим к нему другой такой же квадрат, к ним пристроим квадрат со стороной, равной 2, к ним пристроим квадрат со стороной, равной 3. Продолжая в том же духе, получим квадраты со сторонами, равными 5, 8, 13, 21, 34 и так далее.

(Воспроизводится с разрешения Fascinating Fibonaccis by Trudy Ha.rn.mel Garland; © 1987 by Dale Seymour Publications, P. O. Box 10888, Palo Alto, CA 94303.)

На основе двух их сторон строится примыкающий к ним квадрат со стороной удвоенного размера, затем квадраты со сторонами утроен­ного, упятеренного и т.д. размера. Заметьте, что таким образом строится последовательность прямоугольников, причем отношения между сторонами следующих друг за другом членов последователь­ности образуют золотую пропорцию. Затем соединяем противопо­ложные углы квадратов, начиная с наименьшего, дугами, являю­щимися продолжением друг друга, и получаем спираль.

Нам знакома эта спираль, повторяемая в форме некоторых га­лактик, бараньего рога, многих морских раковин или гребешков океанских волн, по которым скользят любители серфинга. Способ построения делает ее форму неизменной, и она не зависит от размера первого квадрата, с которого началось построение: форма с ростом не меняется. Журналист Уильям Хоффер заметил: «Большая золо­тая спираль кажется естественным способом наращивания количе­ства без изменения качества»².

Кое-кто верит, что числа Фибоначчи можно использовать для различных предсказаний, в особенности относительно курса акций; такие предсказания сбываются достаточно часто, чтобы поддержи­вать постоянный интерес к ним. Ряд Фибоначчи настолько попу­лярен, что в Калифорнии существует даже Американская ассоци­ация Фибоначчи при университете Санта-Клары, опубликовавшая с 1962 года тысячи страниц исследований по этой теме.

«Liber Abaci» Фибоначчи стала впечатляющим первым шагом на пути создания инструмента, являющегося ключом к прируче­нию риска. Но общество еще не было готово к применению чисел для анализа связанных с риском ситуаций. Во времена Фибоначчи люди чаще связывали риск с капризами природы. Им нужно было еще научиться рассматривать его как творение рук человеческих и набраться смелости бороться с судьбой, прежде чем они смогли по­дойти к технологии его укрощения. Для этого понадобилось не ме­нее двухсот лет.

Мы сможем в полной мере постигнуть значение достижений Фибоначчи, только обратив свой взгляд к эпохе, предшествующей его рассуждениям о том, как выразить различие между 10 и 100. Даже в ней мы найдем несколько замечательных новаторов.

Примитивный человек вроде неандертальца умел считать, но необходимость в счете возникала не часто. Он отмечал прошедшие дни зарубками на камнях или стволах деревьев или выкладывал дорожку камней, фиксируя число убитых животных. Время дня оп­ределялось по солнцу, и разница между пятью минутами и получа­сом вряд ли имела значение.

Первые систематические попытки измерений и счета были пред­приняты за несколько тысячелетий до Рождества Христова³. Это началось, когда люди стали расселяться, чтобы выращивать хлеб, по долинам таких крупных рек, как Тигр и Евфрат, Нил, Инд, Ян­цзы, Миссисипи и Амазонка. Реки скоро превратились в торговые пути, по которым предприимчивые люди выходили к океанам и мо­рям. Чтобы путешествовать на всё большие и большие расстояния, понадобились календарь, навигация и география, а они потребова­ли еще более точных расчетов.

Жрецы были первыми астрономами, а от астрономии произошла математика. Когда люди заметили, что зарубок на деревьях и кам­нях и дорожек из них уже недостаточно для решения новых задач, они стали группировать числа в десятки и двадцатки, которые было легко считать по пальцам на руках и ногах.

Хотя египтяне стали мастерами в астрономии и предсказании разливов и спада воды в Ниле, им, по-видимому, никогда не при­ходило в голову вмешиваться в подобные процессы и оказывать влияние на будущий ход событий. Их интеллекту, в котором до­минировали обычаи, привычка к повторению годового цикла пере­мен и уважение к прошлому, были чужды перемены и активное отношение к будущему.

Около 450 года до Рождества Христова греки изобрели буквен­ную систему счисления, которая использовала 24 буквы греческого алфавита и три буквы, которые впоследствии вышли из употребле­ния. Каждому числу от 1 до 9 соответствовала буква, а числа, крат­ные десяти, имели свои буквы. Например, символ я (пи) как пер­вая буква греческого слова tievte (пента), что означало 'пять', пред­ставлял 5; 8 (дельта), первая буква от 8£ ха (дека), что означало 'де­сять', представляла 10; а (альфа), первая буква алфавита, представ­ляла 1, и р (ро) представляла 100. Таким образом, 115 писалось как ро-дека-пента, или рбтг. Евреи, пусть и семиты, а не индоевропейцы, использовали такую же буквенно-цифровую систему счисления⁴.

Хотя относительное удобство этих буквочисел помогало людям строить сложные сооружения, путешествовать на большие расстоя­ния и точнее фиксировать время, такая система счисления наклады­вала серьезные ограничения. Для сложения, вычитания, умножения и деления буквы можно использовать только с большим трудом, а считать в уме практически невозможно. Эти заместители чисел пригодны только для записи результатов вычислений, выполнен­ных другими методами, чаще всего с помощью счетов. Счеты — древнейшее вычислительное устройство в истории — были незаме­нимы при выполнении расчетов, пока между 1000-м и 1200 годами после Рождества Христова на сцену не выступила индо-арабская цифровая система счисления.

На счетах каждому разряду числа соответствовали колонки из десяти костей; когда при сложении, например, в соответствующей колонке получалось число, большее десяти, сдвигалась фишка на следующей колонке, а на первой фиксировалось превышение ре­зультатом десяти, и т.д. Наши выражения «один в уме» и «три свер­ху» ведут свое происхождение от счетов⁵.

Несмотря на ограниченные возможности этих ранних форм ма­тематики, они сделали возможным значительное развитие знания, в частности в геометрии — языке фигур — и ее многочисленных при­ложениях в астрономии, навигации и механике. Наиболее впечат­ляющих результатов добились греки и их коллеги в Александрии. Только Библия выдержала больше изданий и напечатана в большем количестве экземпляров, чем самая знаменитая книга Евклида «На­чала» («Elements»).

Однако не научные открытия представляются нам самым глав­ным достижением греков. В конце концов, храмовые жрецы Египта и Вавилона неплохо изучили геометрию задолго до Евклида, и даже знаменитая теорема Пифагора — квадрат гипотенузы прямоугольно­го треугольника равен сумме квадратов катетов — использовалась в долине Тигра и Евфрата за 2000 лет до Рождества Христова.

Уникальной чертой греческого духа была приверженность к до­казательствам. «Почему?» было для них важнее, чем «что?». Они смогли заново сформулировать самые сложные вопросы потому, что их цивилизация была первой в истории, относительно свободной от смирительной рубашки всемогущего жреческого сословия. Эти же обстоятельства сделали греков первыми в мире путешественниками и колонизаторами, превратившими бассейн Средиземного моря в сфе­ру своих интересов.

Будучи в большей степени гражданами мира, греки отвергли про­стые и ясные заветы, оставленные им предшествующими обществами. Их не интересовали образцы; они искали универсальные понятия, применимые везде, в любом случае. Например, с помощью простого измерения можно убедиться, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. Но греков интересует, почему это так во всех прямоугольных треугольниках, больших и ма­лых, без единого исключения. Именно с этого времени доказательст­во, а не вычисление стало доминировать в математической науке.

Эта радикальная особенность древнегреческой методологии по­стижения мира заставляет нас еще раз задать вопрос — как случи­лось, что греки не открыли законы вероятности, вычислительные методы и даже простую алгебру. По-видимому, это объясняется тем, что, несмотря на все свои достижения, они зависели от неудобной системы счисления, использующей буквы вместо цифр. Тем же не­достатком страдала и римская система, в которой для изображения, к примеру, числа 9 нужны две буквы и нельзя написать 32 как III и II, потому что было бы неясно, имеется в виду 32, 302, 3020 или еще большее число, представляемое комбинацией 3, 2 и 0. Такая сис­тема непригодна для вычислений.

Открытие более совершенной системы счисления задержалось примерно до 500 года после Рождества Христова, когда индусы изоб­рели цифры, которыми мы сегодня пользуемся. Кто придумал это удивительное новшество и какие обстоятельства привели к его рас­пространению по всему Индийскому полуострову, остается тайной. Арабы впервые познакомились с новыми числами примерно через девяносто лет после того, как Мухаммед в 622 году основал ислам и его последователи, объединившись в могучую нацию, проникли в Индию и за ее пределы.

Новая система счисления пробудила интеллектуальную актив­ность в странах к западу от Индии. Багдад, уже тогда бывший сре­доточием арабской культуры, стал центром математических иссле­дований, и халифы приглашали еврейских ученых для перевода трудов таких выдающихся математиков, как Птолемей и Евклид. Математическая литература получила широкое распространение в арабской империи и около IX или X века дошла до Испании.

Вообще говоря, если уж быть точными, на Западе был один че­ловек, предложивший цифровую систему счисления еще за 200 лет до индусов. Около 250 года после Рождества Христова в Александ­рии математик по имени Диофант написал трактат, в котором до­казывал выгодность замены буквенной системы счисления настоя­щими числами⁶.

О самом Диофанте мало что известно, но то немногое, что мы знаем, поразительно. Историк математики Герберт Уоррен Тернбулл (Turnbull) приводит посвященную ему греческую эпиграмму, в ко­торой говорится: «Его детство длилось Ve ^его жизни; борода выросла у него на Vi2 позднее; на i/₇ после этого он женился, и через пять лет у него родился сын, который прожил вдвое меньше отца, а отец пе­режил сына на четыре года». В каком возрасте умер Диофант? ⁷ От­вет на этот вопрос любители алгебры могут найти в конце главы.

Диофанту принадлежит далеко ведущая идея алгебраической символики — использование символов вместо чисел; ему, правда, не удалось воспользоваться ею в полной мере. Он сетует, что «невоз­можно решение абсурдного уравнения 4 = 4л; + 20»⁸. Невозможно? Абсурдное уравнение? Уравнение приводит к отрицательному зна­чению: д: = -4. Без понятия ноля, которого Диофант не знал, поня­тие отрицательного числа логически невозможно.

Замечательные новшества Диофанта, кажется, были проигнори­рованы последующими поколениями. Прошло полторы тысячи лет, пока его работы были замечены и должным образом оценены: его трактат сыграл центральную роль в расцвете алгебры в XVII веке. Всем известные сегодня линейные алгебраические уравнения ви-да а + Ъх = с носят его имя.

Главным изобретением индо-арабской системы счисления яви­лось понятие ноля — sunya, как его называли индусы, или cifr по-арабски⁹().Слово дошло до нас как cipher, что означает 'пусто' и относится к пустой линейке на счетах ³.(Русское слово цифра тоже арабского происхождения).

Людям, использующим ряды камешков для подсчета убитых животных, прошедших дней или пройденного пути, освоить поня­тие ноля было крайне трудно. Для таких подсчетов ноль не нужен. Как отмечает английский философ XX века Альфред Норт Уайтхед (Whitehead),

относительно ноля следует заметить, что в повседневной жизни мы этим понятием не пользуемся. Никому не придет в голову купить ноль рыбы. В известном смысле ноль — это самое деликатное из всех чис­лительных, и потребность в нем возникает у нас только на более высо­ком уровне мышления¹⁰

Слова Уайтхеда о «более высоком уровне мышления» указывают на то, что понятие ноля расчистило путь чему-то более значительно­му, чем совершенствование способов счета и вычислений. Уже Дио­фант осознал, что совершенная система счисления должна обеспе­чить возможность использования математики в развитии и абстракт­ных наук, и техники измерений. Ноль раздвинул границы познания и прогресса.

Заслуживают внимания два аспекта развития системы счисле­ния, обусловленных появлением ноля. Во-первых, люди смогли об­ходиться только десятью символами от 0 до 9 для записи с их помо­щью любых чисел и выполнения всевозможных вычислений. Во-вто­рых, последовательность чисел типа 1, 10, 100 показывает, что сле­дующим числом в последовательности является 1000. Ноль, прояс­нив систему счисления, довел ее до полной прозрачности. Возьмите римские числа I, X и С или V, L и D и попробуйте сказать, каким должно быть следующее число в этой последовательности!

Первая известная нам арабская книга по арифметике была напи­сана ал-Хорезми — математиком, жившим около 825 года, пример­но за четыреста лет до Фибоначчи¹¹. Хотя те немногие, кто использо­вал его работу, вероятно, кое-что слышали о нем, большинству из нас он известен косвенно. Попробуйте быстро произнести «ал-Хорез­ми». Вы услышите слово «алгоритм», что значит «правило вычис­лений»¹². Именно ал-Хорезми был первым математиком, устано­вившим правила сложения, вычитания, умножения и деления с новыми индийскими цифрами. В другом своем трактате «Hisab al-jabr w'almuqabalah», или «Книге о восстановлении и противопо­ставлении», он описывает процесс решения алгебраических урав­нений. От слова al-jabr произошло слово алгебра, или наука об уравнениях¹³.

Одним из самых значительных и, уж конечно, самым знамени­тым арабским математиком древности был Омар Хайям, живший приблизительно с 1050-го по ИЗО год и известный как автор собра­ния стихов под названием «Рубайят»¹⁴. (В русском переводе В. Державина «Рубайят» содержится 488 четверостиший, см.: Омар Хайям. Рубайят. Душанбе: Изд-во «Ирфон», 1965. — Примеч. переводчика.). Его знаменитый сборник из 75 четверостиший* (слово рубайят определяет поэтическую фор­му) во времена королевы Виктории был переведен на английский поэтом Эдвардом Фитцджералдом. В этой тоненькой книжице боль­ше воспеваются вино и мимолетность человеческого существования, чем наука и математика. Например, под номером 27 читаем:

Думал, казий и муфтий мне смогут помочь Верный путь обрести, скорбный дух превозмочь, Но, пожив, убедился, что эти всезнайки Знают, друг мой, как я, так же мало точь-в-точь*. (Перевод А. Кушнера. — Примеч. переводчика.)

Как сообщает Фитцджералд, в юности у Омара Хайяма было двое друзей, столь же блистательных, как и он сам: Низам ал-Мунк и Хасан ал-Сабах. Однажды Хасан предложил своим друзьям покля­сться, что, если кому-нибудь из троих суждено достичь богатства и могущества, «тот, кому выпадет удача, не станет стремиться к пре­имуществу перед двумя другими и поделит ее на троих». Они дали клятву, а через какое-то время Низам стал визирем султана. Дру­зья разыскали его и напомнили про клятву, которую он выполнил, как обещал.

Хасан потребовал и получил место в правительстве, но, неудов­летворенный своим положением, оставил его, чтобы стать потом главой секты фанатиков, терроризировавшей весь мусульманский мир. Много лет спустя он организовал предательское убийство сво­его друга Низама.

Омар Хайям не просил ни чинов, ни титулов. «Величайшая ми­лость, которую ты можешь оказать мне, — сказал он Низаму, — это позволить мне жить незаметно под сенью твоей славы, углубляясь в науку и молясь о ниспослании тебе Аллахом долгих лет жизни и преуспеяния». Хотя султан любил Омара Хайяма и был благоскло­нен к нему, «смелое эпикурейство мыслей и высказываний Омара вызывали в его время косые взгляды соотечественников».

Омар Хайям использовал новую систему счисления для совер­шенствования созданного усилиями ал-Хорезми языка вычисле­ний, послужившего основой нового, более сложного языка алгеб­ры. Кроме того, он использовал математические методы обработ­ки астрономических наблюдений для реформирования календаря и построения числового треугольника, облегчающего вычисление квадратов, кубов и высших степеней; этот треугольник позднее был использован в XVII веке французским математиком Блезом Паска­лем, одним из создателей теории выбора, оценки шансов и веро­ятностей.

Впечатляющие достижения арабов лишний раз показывают, как далеко может зайти и все же застрять на пороге логического завер­шения фундаментальная идея. Почему арабы со своими выдающи­мися математическими достижениями не смогли приблизиться к со­зданию теории вероятностей и управления риском? Я полагаю, это обусловлено их образом жизни. Кто определяет наше будущее: судь­ба, боги или мы сами? Идея управления риском всплывет только тогда, когда люди поверят, что они обладают некоторой степенью свободы. Подобно грекам и ранним христианам, склонные к фата­лизму мусульмане еще не были готовы к этому прыжку.

Около 1000 года новая система счисления преподавалась в мав­ританских университетах в Испании и еще кое-где, а также сара­цинами на Сицилии. Сицилийская монета норманнской чеканки, датированная «1134 Anno Domini»* (После Рождества Христова. — Примеч. переводчика.) — первый известный образец использования системы в действии. Однако широкого распростра­нения новые числа не получили вплоть до XIII века.

Несмотря на покровительство, оказанное книге Фибоначчи им­ператором Фридрихом, и широкую известность, которую она полу­чила в Европе, введение индо-арабской системы счисления вызы­вало сильное и ожесточенное неприятие до начала XVI века. И это можно понять.

Многовековая история учит, что всегда находятся силы, которые встречают в штыки любое изменение; новое всегда с трудом пробивает себе дорогу. Но была и другая причина, куда более серьезная: с новыми числами плутовать было легче, чем со старыми. Превращение 0 в 6 или 9 казалось заманчиво легким, а 1 могла без труда превратиться в 4, 6, 7, 9 (одна из причин, почему европейцы пишут 7 как 7). Даже после того, как новые числа уже утвердились в Италии, где образование было на высоком уровне, в 1229 году во Флоренции был издан эдикт, запрещающий банкирам использование «языческих» символов. В результате многие желающие изучить новую систему были вынуждены выдавать себя за мусульман¹⁵.

Изобретение в середине XV века книгопечатания с наборным шрифтом ускорило окончательный переход к использованию новых чисел. Теперь мошеннические подделки больше не проходили, а не­лепые сложности римских чисел стали очевидны каждому. Этот переворот привел к резкой активизации коммерческой деятельности. С тех пор таблицы умножения ал-Хорезми стали предметом изуче­ния во всех школах. И наконец, с первыми намеками на проникно­вение в тайны вероятностных закономерностей повсеместно уси­лился интерес к играм.

Здесь приводится алгебраическое решение эпиграммы о Дио­фанте. Приняв за х его возраст в день смерти, имеем:

х х х. х

х + — + — + — + 5 + — + 4.
6 12 7 2

Значит, Диофант умер в возрасте 84 лет.

Глава 3

Игроки Ренессанса

Пьеро делла Франческа, написавший Деву Марию («Мадонна с Младенцем и святыми»), жил с 1420-го по 1492 год, на двести с лишним лет позже Фибоначчи. Время его жизни совпало с расцветом итальянского Ренессанса, и разрыв между но­вым духом XV столетия и обветшавшим к тому времени духом Средневековья нашел яркое отражение в его творчестве.

На его полотнах фигуры, даже фигура Девы, воплощают земную человеческую жизнь. Они лишены нимбов, твердо стоят на земле, каждая несет на себе печать индивидуальности и занимает свое мес­то в трехмерном пространстве. Хотя предполагается, что все они со­брались, чтобы приветствовать Святую Деву и младенца Христа, кажется, что большинство из них занято чем-то своим. Тени, созда­ющие в готической архитектуре атмосферу таинственности, здесь призваны подчеркнуть весомость фактуры и протяженность обрам­ляющего фигуры пространства.

Яйцо кажется подвешенным над головой Девы. Более вниматель­ное изучение картины заставляет задуматься, на чем, собственно, подвешен этот небесный символ плодовитости. И почему эти земные, хотя и благочестивые мужчины и женщины не замечают эту стран­ную штуку, зависшую над ними?

Греческая философия перевернута вверх ногами. Теперь тайна пе­ренесена на небеса. На земле мужчины и женщины ведут свободную человеческую жизнь. Эти люди уважают все связанное с божествен­ными проявлениями, но ни в коем случае не подавлены ими — черта, вновь и вновь воспроизводимая в искусстве Ренессанса. Чарующая статуя Давида работы Донателло была одной из первых обнаженных мужских скульптур со времен классических Греции и Рима; великий герой и поэт Ветхого Завета, прекрасный в своей юношеской наготе, стоит перед нами без тени стыдливости, с головой Голиафа в ногах. Большой собор Брунеллески, как и кафедральный собор во Флорен­ции, с их четко вылепленными массами и строгим интерьером де­монстрируют, как религия буквально низведена на землю.

Ренессанс был временем открытий. В год смерти Пьеро Колумб отправился искать путь в Индию; вскоре появилась книга Копер­ника, радикально изменившая взгляд людей на небеса. Его откры­тия потребовали высокого уровня математического искусства, кото­рое в течение XVI века ознаменовалось впечатляющими достижени­ями, особенно в Италии. Следом за изобретением примерно в 1450 го­ду книгопечатания с наборным шрифтом произведения многих клас­сиков математической науки были переведены с латыни на итальян­ский, опубликованы на латыни или на языках других народов Евро­пы. Математики состязались в бурных публичных диспутах о реше­нии сложных алгебраических уравнений, и публика восторженно приветствовала своих фаворитов.

Этот интерес был вызван опубликованной в 1494 году замеча­тельной книгой францисканского монаха по имени Лука Пацциоли¹. Пацциоли родился около 1445 года на родине Пьеро делла Франческа в Борго-Сан-Сеполькро. Хотя семья понуждала мальчи­ка готовиться к карьере торговца, Пьеро занимался с ним чтением, рисованием, историей и приучил пользоваться знаменитой библио­текой в соседнем замке Урбино. Полученные здесь знания заложи­ли основу будущей известности Пацциоли как математика.

В двадцатилетнем возрасте он получил в Венеции место учителя сына богатого купца, стал посещать публичные лекции по филосо­фии и теологии и продолжил изучение математики с частным пре­подавателем. Будучи способным учеником, он еще в Венеции опуб­ликовал свою первую работу по математике. Одновременно он изу­чал архитектуру и военное искусство под руководством своего дяди Бенедетто, офицера на службе Венецианской республики.

В 1470 году Пацциоли переселился в Рим для продолжения своего образования и в двадцатисемилетнем возрасте стал фран­цисканским монахом. Однако его научные занятия не прервались. Он преподавал в Перудже, Риме, Неаполе, Пизе и Венеции, пока в 1496 году не занял место профессора математики в Милане. Деся­тью годами раньше ему уже была присвоена степень магистра, со­ответствующая нынешней степени доктора*(В России — кандидата наук. — Примеч. науч. редактора.).

Главный труд Пацциоли «Summa de arithmetic, geometria et proportionality» («Книга об арифметике, геометрии и пропорциях»; самые серьезные академические работы в то время еще писали на латыни) появился в 1494 году. В ней Пацциоли признаёт, что мно­гим обязан «Liber Abaci» Фибоначчи, появившейся тремя столетия­ми раньше. В «Summa», написанной во славу «величайшей абстрак­ции и утонченности математики», излагаются основы алгебры и со­держатся таблицы умножения до 60 х 60 — весьма полезная вещь для времени, когда с помощью книгопечатания получила широкое распространение новая система счисления.

Один из наиболее интересных разделов книги посвящен двой­ной бухгалтерии. Она не была изобретением Пацциоли, хотя он и занимался ею не один год. Понятие двойной бухгалтерии встреча­ется в «Liber Abaci» Фибоначчи и используется в опубликованной около 1305 года в Лондоне книге лондонского филиала некой ита­льянской фирмы. Каково бы ни было его происхождение, это рево­люционное новшество в методике бухгалтерских расчетов имело серьезные экономические последствия, сравнимые с изобретением паровой машины тремя столетиями позже.

В Милане Пацциоли познакомился с Леонардо да Винчи, став­шим его близким другом. Пацциоли был поражен талантом Леонар­до и восхищался его «бесценной работой о движении в пространстве, столкновениях, весах и всех силах»². У них, наверно, было много общего, потому что Пацциоли интересовали взаимосвязи между ма­тематикой и искусством. Однажды он заметил, что, «если вы гово­рите, что музыка услаждает одно из наших природных чувств — слух... [перспектива] делает то же со зрением, которое имеет гораздо большую цену, потому что является входной дверью интеллекта».

Леонардо был мало знаком с математикой до встречи с Паццио­ли, хотя имел интуитивное понимание пропорций и хорошее гео­метрическое воображение. Его записные книжки и раньше были заполнены изображениями прямоугольников и кругов, но Паццио­ли побудил его к математическому осмыслению понятий, ранее ис­пользуемых интуитивно. Мартин Кемп, один из биографов Леонар­до, отмечает, что Пацциоли «стимулировал внезапно появившиеся у Леонардо математические амбиции, обусловившие переориента­цию его интересов в направлении, на котором ни один из ученых современников ему не сопутствовал». Леонардо отблагодарил Пац­циоли, снабдив рисунками написанную им большую книгу «De Divine Proportione» («Божественная пропорция»), которая появилась в двух прекрасно оформленных манускриптах в 1498 году. Ее печатное из­дание вышло в свет в 1509 году.

Леонардо имел экземпляр «Summa» и, должно быть, прилежно проштудировал его. Его записные книжки свидетельствуют о по­вторяющихся попытках освоить умножение и дроби в применении к использованию пропорций. В одном месте он напоминает себе, что должен «изучить умножение корней по мастеру Луке». По ны­нешним меркам математические познания Леонардо соответствова­ли бы уровню третьего арифметического класса.

Тот факт, что у таких гениев Ренессанса, как Леонардо, было столько трудностей с элементарной арифметикой, дает представле­ние о состоянии математических знаний в конце XV века. Каким образом математики нашли в себе силы с этих позиций сделать пер­вые шаги к созданию методов измерения риска и контроля за ним?

Сам Пацциоли чувствовал, какие огромные возможности таятся в волшебстве чисел. В тексте «Summa» он предложил следующую задачу:

А и В играют в balla* (Игра в мяч. — Примеч. переводчика.). Они договорились играть, пока один из них не выиграет шесть конов. На самом деле игра прекратилась, когда А вы­играл пять, а В три кона. Как поделить банк? ³

В течение XVI и XVII столетий математики вновь и вновь об­ращались к этой головоломке. Она имела много вариаций, но все­гда вопрос сводился к одному: как поделить банк в неоконченной игре? Предлагались разные ответы, разгорались горячие споры.

Головоломка, получившая известность как задача об очках, име­ла более глубокий смысл, чем кажется на первый взгляд. Ее реше­ние ознаменовало начало систематического анализа вероятности — измерения нашего знания о том, что что-то должно произойти. Оно приводит нас на порог квантификации риска.

Получив представление о том, каким могучим барьером на пути ис­следования тайн теории вероятностей были предрассудки Средневеко­вья, интересно снова вернуться к вопросу, почему греки и даже рим­ляне не интересовались задачами, подобными головоломке Пацциоли.

Вообще-то греки понимали, что в будущем может произойти больше вещей, чем произойдет на самом деле. Они отмечали, что естественные науки — это, используя терминологию Платона, «науки о возможном». Аристотель в «De Caelo» говорил: «Добиться успе­ха во многих вещах или много раз трудно; например, выбросить не­кую комбинацию в кости десять тысяч раз подряд было бы невоз­можно, но сделать это один или два раза сравнительно легко»⁴.

Это подтверждалось простыми наблюдениями. Но следует заме­тить, что правила, по которым греки и римляне играли в случайные игры, в наше время показались бы весьма нелепыми. Это тем более странно, что в античном мире такие игры были очень популярны (гре­кам уже были известны шестигранные кости) и являлись настоящей лабораторией для изучения шансов и вероятностей.

Рассмотрим игры с применением таранных костей. В отличие от позднейших кубических костей они продолговатые, с двумя узкими и двумя широкими поверхностями. В играх обычно бросали сразу че­тыре кости. Шансы, что кость выпадет широкой стороной, конечно, выше, чем узкой. Поэтому было бы естественно ожидать, что узкая сторона должна приносить больше очков, чем широкая. Но сумма оч­ков, приносимых менее вероятными узкими сторонами — 1 на одной кости и 6 на другой, — приравнивалась тому, что приносили более ве­роятные широкие стороны, — 3 и 4. Результат же, называемый «Ве­нера», когда на вас смотрят все возможные игровые грани костей — 1, 3, 4, 6, — приносил максимум очков, хотя столь же вероятны ком­бинации 6, 6, 6, 6 или 1, 1, 1, 1, приносившие по правилам меньше очков⁵.

Кроме того, хотя было очевидно, что длинные серии выигры­шей или проигрышей менее вероятны, чем короткие, эти ожида­ния носили не количественный, а качественный характер: Аристо­тель говорил, что «...сделать это один или два раза сравнительно легко»⁶. И хотя в эти игры играли повсеместно и с диким азартом, никому не приходило в голову подсчитывать шансы.

Надо полагать, дело было в том, что греки вообще не проявляли интереса к экспериментированию; их занимали только теории и доказательства. Они, кажется, никогда не обсуждали возможность воспроизведения какого-либо явления достаточное для доказатель­ства гипотезы число раз, видимо, потому, что им была чужда мысль об упорядоченности событий на земле. Точность считалась монополией богов.

В отличие от античности во времена Ренессанса каждый, от ученого до изобретателя, от художника до архитектора, испытывал зуд исследований, экспериментирования и демонстрации результа­тов опыта. В этой интеллектуальной атмосфере кто-то из игроков должен был обратить внимание на регулярности, проявляющиеся при так называемой игре в длинную.

Такой игрок появился в XVI веке. Им оказался лекарь по име­ни Джироламо Кардано. Одной только репутации Кардано как азартного игрока, пытавшегося осмыслить закономерности игры, достаточно для упоминания его имени в истории освоения риска, но он проявил выдающиеся таланты и во многих других областях. Удивительно, что в наше время он сравнительно мало известен. Он был олицетворением Ренессанса⁷.

Кардано родился в Милане около 1500 года и умер в 1571 году. Он был современником Бенвенуто Челлини и, подобно Челлини, од­ним из первых знаменитостей, оставивших автобиографию. Свою книгу он назвал «De Vita Propria Liber» («Книга моей жизни»), и что это была за жизнь! Поистине, его любознательность была сильнее его самого. Характерно увлечение, с которым он, описывая собственную жизнь, обсуждает четыре выдающихся достижения своего времени: вступление в новую эру географических открытий, познакомивших европейцев с двумя третями земной поверхности, о которых древние ничего не знали, изобретение огнестрельного оружия, компаса и кни­гопечатания с использованием набора.

Кардано был худым, с длинной шеей, тяжелой нижней губой, бородавкой над глазом и таким громким голосом, что вызывал раз­дражение даже у друзей. По его собственному признанию, он стра­дал диареей, грыжей, болезнью почек, тахикардией и даже воспа­лением соска. Не без рисовки он пишет о себе: «Я был горяч, про­стодушен и падок на женщин», а также «хитер, силен, саркасти­чен, прилежен, дерзок, печален, вероломен, склонен к чародейству и колдовству, жалок, злобен, похотлив, непристоен, лжив, подобо­страстен, старчески болтлив».

Кардано был игрок из игроков. Он признавался в «неодолимой тя­ге к игорному столу и костям... Долгие годы... я играл не время от времени, но, стыдно сказать, каждый день». Он играл во всё — от ко­стей и карт до шахмат. Он зашел так далеко, что признавал благо­творность игры: «...в периоды потрясений и бедствий... я находил уте­шение в постоянной игре в кости». Кардано терпеть не мог непроше­ных советчиков и все знал о шулерских проделках, в частности осте­регался игроков, «которые натирали карты мылом, чтобы они легко скользили и были послушны в руках». Анализируя в своей книге ве­роятностные закономерности игры в кости, он не забывал осторожно оговориться: «...если игра ведется честно». Тем не менее ему приходилось проигрывать крупно и достаточно часто, чтобы заключить, что «лучший из возможных выигрышей — это отказ от игры». Он, кажет­ся, первым в истории взялся за серьезный анализ случайных игр.

Кардано был не только игроком и математиком «от случая к случаю», но и самым знаменитым врачом своего времени — его настойчиво стремились заполучить многие европейские дворы и Ватикан. Однако он не терпел придворные интриги и отклонял все высокие приглашения. Ему принадлежит первое клиническое опи­сание симптомов тифа, он писал о сифилисе и предложил новый метод операции грыжи. Он говорил, что «человек есть не что иное, как дух; если дух не в порядке, все плохо, если же он здоров, все остальное лечится просто», и был одним из первых пропагандистов купания и душа. Когда его в 1552 году пригласили в Эдинбург для лечения архиепископа Шотландского от астмы, он на основе своих знаний об аллергии порекомендовал пациенту набить перину не пе­рьями и пухом, а некрученым шелком, заменить кожаные наволоч­ки полотняными, а причесываться гребнем из слоновой кости. Перед отъездом из Милана в Эдинбург ему предложили за услуги ежеднев­ную плату в размере десяти золотых крон; когда же через сорок дней он покидал Эдинбург, благодарный пациент вручил ему 1400 крон, не считая дорогих подарков.

Кажется, Кардано был очень занятым человеком. Он опублико­вал 131 печатную работу, сжег, по его словам, еще 170, а после смер­ти оставил 111 неопубликованных рукописей. В его писаниях затра­гиваются самые разные вопросы, касающиеся математики, астро­номии, физики, состава мочи, зубов, жизни Девы Марии, гороско­па Иисуса Христа, морали, аморальности, жизни Нерона, музыки, снов. Его «De Subtilitate Rerum» («О сущности вещей») стала тог­дашним бестселлером и выдержала шесть изданий подряд; в ней обсуждаются научные и философские вопросы наряду с суевериями и загадочными историями.

У него было два сына, заставивших его испытать много горя. В «De Vita» Кардано пишет о старшем сыне Джамбаттисте, своем любимце, что он был «глух на правое ухо, с маленькими бесцветны­ми беспокойными глазами. На левой ноге у него было два пальца; третий и четвертый, если я не ошибаюсь, срослись с большим, обра­зуя гусиную лапу. Он был немного горбат...». Джамбаттиста женил­ся на девушке с подпорченной репутацией, которая была ему невер­на; по ее признанию, муж не был отцом ни одного из ее троих детей. После трех лет семейной жизни, ставшей для него адом, Джамбат­тиста приказал своему слуге приготовить пирог с мышьяком и дал его жене, которая тут же умерла. Кардано сделал все для спасения сына, но Джамбаттиста уже после освобождения из тюрьмы при­знался в убийстве жены. По пути к месту казни, где его обезглави­ли, палачи отрубили ему левую руку и пытали его. Младший сын, Альдр, постоянно обкрадывал своего отца и время от времени по­падал в тюрьму, где побывал не менее восьми раз.

У Кардано был молодой протеже, Лодовико Феррари, блестящий математик, какое-то время служивший секретарем у кардинала Мантуи. В возрасте 14 лет Феррари поселился у Кардано и скра­шивал его старость, называя себя «творением Кардано». Он защи­щал доказательства Кардано в нескольких диспутах с другими ма­тематиками, и многие авторитетные ученые считают, что ему при­надлежали многие идеи, приписываемые его учителю. Но Феррари не смог утешить Кардано, тяжело переживавшего трагедию соб­ственных сыновей. Темпераментный, щедро растрачивавший себя, Феррари потерял все пальцы на правой руке в трактирной ссоре и в 43 года был отравлен то ли сестрой, то ли ее любовником.

Главный математический труд Кардано «Ars Magna» («Великое искусство») вышел в свет в 1545 году; к этому времени Коперник уже опубликовал описание гелиоцентрической планетной системы, а Везалий закончил свой трактат по анатомии. Пятью годами рань­ше в «Основах искусств» («Grounde of Artes») англичанина по имени Роберт Рикорд впервые появились символы «+» и «-». Сем­надцать лет спустя в английской же книге под названием «Оселок остроумия» («Whetstone of Witte») впервые был использован сим­вол «=», потому что «на свете не может быть большей идентично­сти, чем у пары параллельных прямых»⁸.

«Ars Magna» была первой основательной работой эпохи Ренес­санса по алгебре. В ней Кардано углубляется в решение кубиче­ских и квадратных уравнений и даже ломает голову над квадрат­ными корнями отрицательных чисел, неизвестных до использова­ния цифровой системы счисления и все еще остающихся для мно­гих тайной за семью печатями⁹. Хотя система алгебраических ус­ловных обозначений в то время еще не устоялась и каждый автор произвольно пользовался собственной символикой, Кардано ввел ис­пользование символов а, & и с, ныне привычных для всех, изучав­ших алгебру. Удивительно, но он не сумел решить головоломку Пацциоли об игре в balla. Несмотря на все старания, ему, как и другим математикам его времени, это не удалось.

Игре посвящен трактат Кардано «Liber de Ludo Aleae» («Книга о случайных играх»). Слово aleae имеет отношение к игре в кости. Aleatorius происходит от того же корня и относится к случайным играм вообще. Эти слова дошли до нас в слове «aleatory», обознача­ющем события с неопределенным исходом. Так элегантная латынь невольно объединила для нас понятия игры и неопределенности.

В «Liber de Ludo Aleae» были предприняты первые серьезные попытки разработать статистические принципы теории вероятнос­тей. Но само слово «вероятность» в тексте не встречается. В назва­нии, которое Кардано дал своей книге, и большей части текста ис­пользуется слово «шансы». Латинские корни слова probability*(Вероятность, правдоподобность. — Примеч. переводчика.) представлены комбинацией probare, что означает 'испытывать, пробовать' или 'проявлять себя', и His, что означает 'способность быть'; именно в этом смысле могло бы оказаться на поверку вер­ным или стоящим рассмотрения предположение, что Кардано мог знать это слово. Понимание связи между вероятностью и случайно­стью, составляющей суть случайных игр, еще около ста лет после опубликования «Liber de Ludo Aleae» не смогло стать достоянием обыденного мышления.

По утверждению канадского философа Яна Хакинга (Hacking), латинские корни слова «вероятность» означают нечто вроде 'заслуживающее проверки'¹⁰. Это значение слова сохранялось дол­гое время. В качестве примера Хакинг приводит отрывок из рома­на Даниэля Дефо «Роксана, или Удачливая любовница», датиро­ванного 1724 годом. Леди, убедившая состоятельного мужчину за­ботиться о ней, именно в этом смысле употребляет слово probable, когда говорит: «Я тогда впервые увидела, что значит вести ком­фортабельную жизнь, и это стоило испытать (it was a very probable way)». Это значит, что она создала себе образ жизни, соответст­вующий благосостоянию ее покровителей; как сказал Хакинг, она «сумела выбраться из той грязи, в которой начинала»¹¹.

Хакинг приводит и другой пример толкования этого слова¹². Галилео назвал теорию Коперника о вращении Земли вокруг Солн­ца improbable (неправдоподобной, невероятной), потому что она противоречит тому, что люди могут видеть собственными глаза­ми, — Солнце ходит вокруг Земли. Теория была неправдоподоб­ной, потому что не находила подтверждения. Менее столетия спус­тя, используя новое (но все же не новейшее) значение слова, не­мецкий философ Лейбниц охарактеризовал гипотезу Коперника как «несравненно более вероятную». Для Лейбница, пишет Хакинг, «вероятность определяется через очевидность и разум»¹³. На са­мом деле в немецком слове wahrscheinlich* (Вероятный. — Примеч. переводчика.) хорошо отображается смысл понятия: оно переводится как «кажущееся правдой, прав­доподобное».

Вероятность всегда несет в себе двоякий смысл: с одной стороны, это взгляд в будущее, с другой — истолкование прошлого; с одной стороны, речь идет о наших предположениях, с другой — о том, что мы действительно знаем. Эта двуединость понятия пронизыва­ет все, о чем пойдет речь в этой книге.

В первом смысле вероятность означает степень правдоподобия или приемлемости мнения — хороший взгляд на вероятность. Уче­ные обозначают такое понимание термином «эпистемологический», т. е. не поддающийся до конца анализу и пониманию, находящийся на границе познаваемого и непознаваемого.

Понимание этого первого аспекта возникло значительно рань­ше, чем идея об измерении вероятности. Старое понимание разви­лось с течением времени из идеи проверки: насколько можно при­нимать на веру то, что мы знаем? В случае Галилео вероятность была оценкой того, насколько можно верить тому, о чем нам ска­зали. Использование этого понятия у Лейбница ближе к современ­ному: насколько можно доверять собственному восприятию.

Этот более современный подход не мог получить развития, по­ка математики не разработали теоретическую концепцию частоты событий в прошлом. Кардано мог первым наметить статистический подход к теории вероятностей, но характерное для его времени и психологии игрока отношение к жизни обусловило интерес толь­ко к субъективно-волевому аспекту вероятностей, и такое пони­мание не стыковалось с тем, что он пытался осуществить на пути измерения.

Кардано осознавал, что он стоит перед чем-то значительным. В ав­тобиографии он, оценивая «Liber de Ludo Aleae» как одно из своих главных достижений, отметил, что «открыл разум для тысячи пора­зительных фактов». Заметьте слова «разум для». Упоминаемые в книге факты о частоте исходов были известны каждому игроку, но не было теории, объясняющей эти частоты. Кардано высказывает характерную для теоретика жалобу: «...эти факты много дают для понимания, но вряд ли что-либо для самой игры».

В автобиографии Кардано сообщает, что написал «Liber de Ludo Aleae» в 1525 году, будучи еще молодым человеком, и переписал за­ново в 1565-м. При экстраординарной оригинальности книга чрезвычайно беспорядочна. Она собрана из бесчисленных черновых на­бросков и решений проблем, которые появляются в одном месте, перемежаются с решениями, базирующимися на существенно от­личных методах, описанных в другом месте. Отсутствие какой-ли­бо системы в использовании математических символов страшно за­трудняет понимание текста. Работа не публиковалась при жизни Кар-дано. Она была найдена среди рукописей после его смерти и впервые опубликована в Базеле только в 1663 году. К этому времени в тео­рии вероятностей был достигнут значительный прогресс силами дру­гих ученых, которые не были знакомы с направленными к той же цели усилиями Кардано.

Если бы эта работа не пролежала целое столетие в безвестности, содержащиеся в ней обобщения, касающиеся вероятностей в играх, могли бы значительно ускорить развитие математики и теории ве­роятностей. Здесь впервые сформулировано общепринятое теперь представление вероятности через отношение числа благоприятных исходов к «совокупности» (circuit), то есть к общему числу воз­можных исходов. Например, когда мы говорим, что шансы выбра­сывания орла или решки составляют ⁵⁰/5о> ^эт° значит, что орел выпадает в одном из двух равновозможных случаев. Вероятность достать даму из колоды карт составляет Vis> поскольку в колоде из 52 карт имеется четыре дамы; вероятность же достать даму пик равна! /52' поскольку в колоде только одна дама пик.

Последуем за Кардано в его рассмотрении вероятностей различ­ных результатов бросков при игре в кости¹'. В главе 15 его «Liber de Ludo Aleae», в параграфе, озаглавленном «О выбрасывании од­ной кости», он проясняет некоторые общие принципы, ранее ни­кем не рассматривавшиеся:

Частоты появления значений, относящихся к каждой из двух половин числа граней, одинаковы; отсюда шансы, что данное значение выпадет в трех бросках из шести, равны шансам, что одно из трех заданных значений выпадет в одном броске. Например, я могу легко выбросить один, три или пять, так же как два, четыре или шесть. Ставки должны соответствовать этому равенству, если игра ведется честно¹⁴.

Далее Кардано продолжает вычислять вероятность того, что в од­ном броске выпадет одно из двух чисел, скажем 1 или 2. Ответ: один шанс из трех, или 33%, поскольку речь идет о двух исходах из шести возможных. Он также подсчитывает вероятность повто­рения благоприятных исходов при бросании одной кости. Вероят­ность того, что в двух бросках подряд выпадет 1 или 2, равна ¹/д, то есть квадрату одного шанса из трех, или ¹/₃, умноженной сама на себя. Вероятность того, что в трех бросках подряд выпадет 1 или 2, равна ¹/₂7, или */з ^x Vs ^x Va» ^a вероятность выбросить 1 или 2 в четырех бросках подряд равна ¹/₃ в четвертой степени.

Кардано продолжает определять вероятность выбросить 1 или 2 с двумя костями вместо одной. Если шансы, что в одном броске
выпадет 1 или 2, оцениваются как один к трем, интуиция под­
сказывает, что при бросании двух костей они удвоятся и достиг­
нут 67%. Правильным ответом будет соотношение пять к девяти,
или 55, 6%. Действительно, при выбрасывании двух костей есть
один шанс из девяти, что 1 или 2 выпадут сразу на двух костях
в одном броске, но вероятность того, что на каждой кости выпа­
дет 1 или 2, уже подсчитана ранее; значит, мы должны вычесть
1/9 из 67%, предсказанных нами на основе интуиции. Отсюда
1/3 + 1/3 - 1/9 = 5/9.

Далее Кардано углубляется в игры с большим числом костей и большим числом успешных исходов при большем числе бросков. В конце концов это исследование приводит его к обобщению за­конов о шансах, которое превращает экспериментальный резуль­тат в теорию.

Он рассматривает принципиальный переход от бросков одной кости к броскам с двумя костями. Еще раз, но более детально, проследим за его рассуждениями. Хотя две кости имеют в сумме двенадцать граней, Кардано в случае двух костей не определяет вероятность выбрасывания 1 или 2, исходя из предположения, что число возможных исходов равно двенадцати. Он замечает, что игрок может, например, выбросить 3 на первой кости и 4 на второй, но точно так же он может выбросить 4 на первой кости и 3 на второй.

Число возможных комбинаций, образующих совокупность — об­щее число возможных исходов, — оказывается значительно боль­шим, чем общее число граней на двух костях. Заметив решающую роль комбинаций чисел, Кардано сделал гигантский шаг на пути разработки вероятностных законов.

Игра в крепе дает полезную иллюстрацию важности комбина­ций в вычислении вероятностей. Как продемонстрировал Кардано, бросание пары шестигранных костей дает не одиннадцать (от двух до двенадцати), а тридцать шесть возможных комбинаций, от «зме­иных глаз» (один-один) до «вагончиков» (шесть-шесть).

Семерку, ключевое число в крепсе, выбросить легче всего. Она в шесть раз более вероятна, чем дубль-один или дубль-шесть, и в три раза более вероятна, чем одиннадцать, другое ключевое число. Шесть возможных исходов, дающих семерку, суть следующие: 6 + 1, 5 + 2, 4 + 3, 3 + 4, 2 + 5и 1+6; заметьте, что эти исходы есть не что иное, как варианты представления сумм трех различных комбина­ций — 5 и 2, 4 и 3, 1 иб. Одиннадцать получается только в двух исходах, потому что образуется из двух вариантов представления суммы одной комбинации: 5 + 6 и 6 + 5. Есть только по одному варианту для представления дублей — от один-один до шесть-шесть. Игроки в крепе повысят свой класс, если запомнят следующую таблицу: