Практична робота №3. Розрахунок напруг в гірському масиві від зосередженої сили

Розрахунок напруг в гірському масиві від зосередженої сили

Мета: придбання теоретичних знань і практичних навиків розрахунку напруги в ґрунтах, при пружних деформаціях.

1. Загальний підхід та постановка задачі.

При вирішенні задач, пов'язаних з оцінкою стійкості ґрунтових масивів та виведених на них споруд, необхідно знати, які напруги з'являються у ґрунті при дії навантаження.

Тиск від навантаження, прикладений до поверхні ґрунтового масиву, передається у ґрунті частками або структурними агрегатами через точку контакту.

При оцінці напруг діючих в ґрунтах реальні сили прикладені до окремих ґрунтових часток, замінують уявними силами, розташованими по всьому об'ємі або перерізу ґрунтового масиву, в тому числі і в проміжках між частками. Величину цих сил, віднесених до одиниці площі перерізу масиву, і приймають умовно за величину напруг у ґрунті.

При відносно малих навантаженнях, коли залежність " навантаження-диформація" на діаграми прямолінійна і грунт практично підкоряється закону Гука, напружений стан ґрунту близько до розглядаємого в теорії пружності. Однак при застосуванні до ґрунтів теорії пружності грунт розглядають ні як упруге, а як лінійно деформовне тіло. В загальному випадку для опису деформацій і напруг методами теорії » пружності наступна система рівнянь:

σ _{ij, j} + ρ F_i = ρ U_i (3 рівняння); (3.1)

(6 рівнянь); (3.2)

(закон Гука, 6 рівнянь); (3.3)

Ці рівняння для статичної плоскої задачі в ізотропному масиві можна записати наступним чином:

рівняння статичної рівноваги (3.4)

рівняння сумісності (3.5)

рівняння Гука для ізотропного масиву (3.6)

Для цієї задачі Ері в 1862 році вдалося звести рішення до одного рівняння, вводячи спеціальну функцію (функцію Ері), наступним умовам:

При такій умові можливо показати, що функція Ері задовольняє бігармонійному рівнянню:

(3.10)

При переході до полярної системи координат ті ж рівняння записуються наступним чином:

де r і θ - відповідно радіус і кут визначаючи положення точки в полярних координатах.

2. Розрахунок напруг при плоскій задачі (задача Фламана)

Нехай до поверхні напівплощіни прикладена зосереджена сила Ρ (мал. 3.1). Потрібно встановити закон зміни напруг в масиві, іншими словами отримати залежність σ _x(x, z), σ _z(x, z), τ _xz(x, z) для будь якої точки.

Розв'язок цієї задачі вперше було отримано Фламаном в 1892 році з використанням полярних координат. Фламан запропонував прийняти функцію Ері у вигляді:

(3.15)

Тоді по раніш приведеним формулам (3.11) і (3.13) знаходимо:

(3.16)

Так як , то в любій точці напівплощіни напруги мають радіальний напрям.

Якщо від полярних координат перейти до прямокутних, то отримаємо основні розрахункові вирази:

Використовуючи наведені вирази, розрахувати напругу на масиві згідно завданню та вихідних даних (табл. 3.1).

3. Розрахунок напруги в масиві для об'ємної задачі