![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
x1, ., хп из генеральной совокупности с неизвестным параметром 0, называются соответственно нижней и верхней границами доверительного интервала. ⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2
Условие (1) означает, что в большой серии независимых экспериментов, в каждом из которых получена выборка объема п, в среднем (1 — а) 100% из общего числа построенных доверительных интервалов содержат истинное значение параметра 0. Длина доверительного интервала, характеризующая точность интервального оценивания, зависит от объема выборки n и доверительной вероятности 1 — α: при увеличении объема выборки длина доверительного интервала уменьшается, а с приближением доверительной вероятности к единице — увеличивается. Выбор доверительной вероятности определяется конкретными условиями. Обычно используются значения 1 — α, равные 0, 90; 0, 95; 0, 99. При решении некоторых задач применяются односторонние доверительные интервалы, границы которых определяются из условий Ρ [θ < θ 2] = 1 - α или Ρ [θ 1 < θ ] = 1 - α. Эти интервалы называются соответственно левосторонними и правосторонними доверительными интервалами. Чтобы найти доверительный интервал для параметра θ, необходимо знать закон распределения статистики θ ’ = θ ’ (x1,..., хп), значение которой является оценкой параметра θ. При этом для получения доверительного интервала наименьшей длины при данном объеме выборки n и заданной доверительной вероятности 1 — α в качестве оценки θ параметра θ следует брать эффективную либо асимптотически эффективную оценку.
2.1.5. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ. КРИТЕРИЙ СОГЛАСИЯ ПИРСОНА.
Критерием согласия называется критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения. Пусть по выборке объема n получено эмпирическое распределение:
С помощью критерия Пирсона можно проверить гипотезу о различных законах распределения генеральной совокупности (равномерном, нормальном, показательном и др.) Для этого в предположении о конкретном виде распределения вычисляются теоретические частоты ni’, и в качестве критерия выбирается случайная величина.
имеющая закон распределения χ 2 с числом степеней свободы k = s – 1 – r, где s – число частичных интервалов выборки, r – число параметров предполагаемого распределения. Критическая область выбирается правосторонней, и граница ее при заданном уровне значимости α Теоретические частоты ni’ вычисляются для заданного закона распределения как количества элементов выборки, которые должны были попасть в каждый интервал, если бы случайная величина имела выбранный закон распределения, параметры которого совпадают с их точечными оценками по выборке, а именно: а) для проверки гипотезы о нормальном законе распределения ni’= n · Рi, где n – объем выборки,, границы i-го интервала,
2.1.6. КВАНТИЛЬ Квантиль - значение, которое заданная случайная величина не превышает с фиксированной вероятностью. Квантилью уровня P, называется решение уравнения
![]()
Квантиль P – значение случайной величины, при котором функция распределения равна P. В Данной работе будут использованы квантили распределения Стьюдента и хи-квадрат Пирсона.
2.2 РАСЧЁТЫ
Данная выборка
f - это вектор строка записанный из выборки
2.3. ВЫВОДЫ
В ходе работы над первой частью курсовой работы был написан подробный теоретический обзор. Также были решены данные задачи. Получен опыт нахождения статистического ряда, построения гистограммы и полигона частот. После проверки гипотезы было выяснено, что 3 ЧАСТЬ II. РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ
3.1. ТЕОРИТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНЬЯ
Часто у инженера возникает задача выделения сигнала из смеси «сигнал + шум». Например, на промежутке от t1 до t2 функция f(t) имеет вид, но в силу патологического влияния шумов и помех эта кривая превратилась в смесь f(t) + f(n). Реально мы владеем какой-то информацией и о сигнале и о шуме, но этого недостаточно.
Алгоритм восстановления сигнала из смеси «сигнал + шум»: 1. Задается функция f(t) 2. Генерируется шум с помощью датчика случайных чисел f(n) 3. Построим сумму f(t) + f(n) 4. Принимая модель f(t) в виде полинома третьей степени – кубической параболы. Находим методом МНК коэффициенты этой кубической параболы. Они будут являться функциями y(t)
3.1.1 МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ (МНК)
Метод наименьших квадратов (МНК) – это метод оценки неизвестных случайных величин по результатам измерений, содержащим случайные ошибки. В нашем случае дана смесь – сигнал+шум. Наша задача состоит в извлечении истинного тренда. При помощи метода наименьших квадратов вычисляются коэффициенты аппроксимирующего многочлена. Эта задача решается следующим образом. Пусть на некотором отрезке в точках Требуется определить параметры
такого, что сумма квадратов отклонений значений y от значений функции f(y) в заданных точках x была минимальной, то есть Геометрический смысл заключается в том, что график найденного многочлена y = f(x) будет проходить как можно ближе к каждой из заданных точек. Далее нужно решить следующую систему уравнений:
……………………………………………………………………………. Запишем систему уравнений в матричном виде:
Решением является следующее выражение:
Несмещенная оценка для дисперсии ошибок наблюдений равна: Чем величина S меньше, тем точнее описывается Y. N – Объем выборки k-Число параметров тренда –
Доверительный интервал для коэффициентов тренда считается так:
j=0..3
3.2 РАСЧЕТЫ
3.3 ВЫВОДЫ
В ходе работы была выполнена задача по нахождению истинного тренда из смеси сигнал +шум. За основу работы взят метод наименьших квадратов. Для оптимальных расчетов был использован полином третьей степени, что привело к получению расчета четырех коэффициентов модели. Были рассчитаны не только сами коэффициенты, но и их доверительные интервалы. На построенном графике представлены два тренда – истинный и его оценка. Имеются небольшие отклонения, это связано с тем, что было взято относительно небольшое количество коэффициентов.
4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В ходе выполнения данной курсовой работы был получен опыт нахождения точечной оценки и доверительного интервала для таких величин, как математическое ожидание и дисперсия, закреплены навыки построения гистограммы и полигона частот для некоторой выборки значений. Так же был освоен метод наименьших квадратов (МНК), как один из способов в регрессионном анализе для извлечения истинного тренда из смеси сигнал + шум. Полученные в ходе работы навыки можно использовать не только в учебной деятельности, но и в повседневной жизни.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Симонов А.А. Выск Н.Д. Проверка статистических гипотез: Методические указания и варианты курсовых заданий. Москва, 2005, 46 с. 2. Ю. И. Галанов. Математическая статистика: учебное пособие. Издательство ТПУ. Москва, 2010, 66 с. 3. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учебник для студ. вузов, 2005. – 576 с. 4. Э. А. Вуколов, А. В. Ефимов, В.Н. Земсков, А. С. Поспелов. Сборник задач по математике для ВТУЗОВ: Учебник для студентов вузов. Москва, 2003, 433 с. 5. Чернова Н. И. Математическая статистика: Учеб. пособие / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2007. 148 с.
|