Определение вероятности.

Теория вероятностей.

Случайные события

Теория вероятностей – это раздел математики, изучающий количественные закономерности случайных событий. Теория вероятностей, основанная еще в XVII веке, имеет важное значение в современной научной системе мира. Математические модели социологии, криминологии, макроэкономики и многих других наук базируются на вероятностных законах.

Под событием в теории вероятностей понимается всякий факт, который в результате действия (опыта, испытания) может произойти или не произойти.

Случайным событием называется всякий факт, происходящий или не происходящий в результате такого опыта, который можно повторить при тех же условиях.

Неопределенным событием называется всякий факт, который может произойти или не произойти в результате такого опыта, условия которого повторить невозможно.

Несколько событий называются несовместными в некотором опыте, если никакие два из них не могут появиться вместе. В противном случае события называются совместными.

Множество событий - возможных исходов некоторого опыта, одно из которых в результате опыта обязательно происходит, а любые два из них несовместны, называется множеством элементарных событий или полной группой событий.

Каждый исход опыта представляется одним и только одним элементарным событием. Случайным событием называется любое подмножество полной группы событий данного опыта.

Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если по условиям симметрии есть основание считать, что ни одно из этих событий не является более возможным, чем другое.

Два события называются зависимыми, если наступление одного из них влияет на возможность появления другого.

Два события называются независимыми, если наступление одного из них влияет на возможность наступления другого.

Определение вероятности.

Если есть основания полагать, что случайные события равновозможны и несовместны, то можно воспользоваться так называемым классическим определением вероятности.

Пусть множество исходов опыта состоит из n равновозможных и несовместных исходов. Если m из них благоприятствуют наступлению события , то вероятностью события называется число:

.

Здесь P(A) - обозначение вероятности события A.

Вероятность события, вычисленная по предложенным формулам, всегда есть правильная дробь, поэтому:

.

Пример 1. Из 11 карточек составлено слово «СЛЕДОВАТЕЛЬ». Какова вероятность того, что на выбранной наудачу карточке буква Е? Какова вероятность того, что на выбранной наудачу карточке гласная буква? Какова вероятность того, что на выбранной наудачу карточке буква Д?

Решение. Пусть событие А = «На выбранной наугад карточке буква Е», В= «На выбранной наугад карточке гласная буква», С = «На выбранной наугад карточке буква Д». По формуле классической вероятности имеем: , , .

Замечание. При решении задач по теории вероятности для подсчета общего числа исходов опыта и исходов, благоприятствующих наступлению события, вероятность которого нужно найти часто используются формулы комбинаторики.

Число размещений без повторений из k элементов по m вычисляют по формуле . Число сочетаний из k элементов по m равно . Число перестановок без повторений из k элементов равно P_k = k! Число размещений с повторениями из k элементов по m равно . Число сочетаний с повторениями из k элементов по m равно . Число перестановок с повторениями равно .

Пример 2. В течение месяца суд вынес 30 приговоров, в том числе 5 за мошенничество. В порядке прокурорского надзора проверено 20% дел. Какова вероятность того, что среди них только два дела по обвинению в мошенничестве.

Решение. Количество проверенных дел равно штук. Обозначим событие А= «среди проверенных 6 дел только два дела по обвинению в мошенничестве». Найдем вероятность этого события, используя классическое определение вероятности. Найдем общее число исходов опыта. Оно равно количеству комбинаций выбора для проверки 6 дел из 30. Поэтому . Число исходов, благоприятствующих наступлению события А равно количеству комбинаций выбора 2 дел из 5 имеющихся по обвинению в мошенничестве и 4 дел из 25 с другими видами обвинений. По правилу произведения имеем . Тогда 0, 21.

Событие, которое непременно произойдет в результате опыта, называется достоверным. Вероятность достоверного события равна единице.

Невозможным называется событие, которое заведомо не может произойти в результате опыта. Вероятность невозможного события равна нулю.