Свойства математического ожидания.

1. .

2. .

3. .

Иногда математическое ожидание случайной величины не дает ее исчерпывающей характеристики. В некоторых случаях требуется знать сколь велики отклонения отдельных значений случайной величины от ее математического ожидания. Для этой цели вводятся дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

.

Пусть случайная величина задана законом распределения

Тогда по определению дисперсия равна:

или

На дисперсию распространяются все свойства математического ожидания (поскольку она является математическим ожиданием квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания).

Средним квадратическим отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии этой случайной величины

.

Пример 8. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, распределенной по следующему закону:

Решение. Найдем математическое ожидание

Найдем дисперсию .

Среднее квадратическое отклонение

Если случайная величина распределена по биномиальному закону, то математическое ожидание случайной величины равно , дисперсия вычисляется по формуле , а наиболее вероятное число раз наступления события А в серии из n опытов определяется из соотношения: .

Пример 9. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х – числа появления события в 100 независимых испытаниях, в каждом из которых появление события равна 0, 7. Определите наивероятнейшее число появлений этого события.

Решение. Из условия задачи понятно, что случайная величина распределена по биномиальному закону. Найдем математическое ожидание . Дисперсия равна . Наиболее вероятное число появлений события в серии из 100 опытов определим из соотношения: . Упростив, получаем , следовательно .