Глава «. Коэффициенты корреляции

то по известным значениям переменной ЛГможно точно предсказать значения переменной Y.'

На практике связь между двумя переменными, если она есть, является ве­роятностной и графически выглядит как облако рассеивания эллипсоидной формы. Этот эллипсоид, однако, можно представить (аппроксимировать) в виде прямой линии, или линии регрессии. Линия регрессии (Recession Line) — это прямая, построенная методом наименьших квадратов: сумма квадратов расстояний (вычисленных по оси У) от каждой точки графика рассеивания до прямой является минимальной:

где y_t — истинное /-значение У, у, — оценка /-значения К при помощи линии (уравнения) регрессии, е, =y_t-yj— ошибка оценки (см. рис. 6.4). Уравнение регрессии имеет вид:

$, = bXi+a, (6.2)

где b — коэффициент регрессии (Regression Coefficient), задающий угол наклона прямой; а — свободный член, определяющий точку пересечения прямой оси Y. Если известны средние, стандартные отклонения и корреляция г^, то сум­ма квадратов ошибок минимальна, если:

Ь=_Гху-±, а=М_у-ЬМ_х. (6.3)

Таким образом, если на некоторой выборке измерены две переменные, которые коррелируют друг с другом, то, вычислив коэффициенты регрессии,

Рис. 6.4. Диаграмма рассеивания и линия регрессии (е, — ошибка оценки для одного из

объектов)

ЧАСТЬ 1. ОСНОВЫ ИЗМЕРЕНИЯ И КОЛИЧЕСТВЕННОГО ОПИСАНИЯ ДАННЫХ

Мы получаем принципиальную возможность предсказания неизвестных зна­чений одной переменной (У— «зависимая переменная») по известным значе­ниям другой переменной (X — «независимая переменная»). Например, пред­сказываемой «зависимой переменной» может быть успешность обучения, а предиктором, «независимой переменной» — результаты вступительного теста.