Диференціальні операції в скалярних і векторних полях

Скалярні і векторні поля

Завдання № 1. Визначити швидкість і характер зміни скалярного поля в точці за напрямом вектора нормалі до поверхні (нормаль утворює гострий кут з додатнім напрямом oсі ).

, : , .

Розв’язання.

1) Знаходимо одиничний вектор нормалі в точці до поверхні . Поверхня визначається рівнянням , – її нормальний вектор, тоді одиничний вектор нормалі в точці визначається так:

.

Знайдемо частинні похідні функції та їх значення в точці :

, , .

Тоді за формулою (4)

.

Знайдемо довжину :

.

Отже, одиничний вектор нормалі в точці до поверхні з урахуванням того, що нормаль утворює гострий кут з додатнім напрямом oсі :

.

2) Похідна за напрямом характеризує швидкість зміни функції за напрямом вектора в точці . Зайдемо похідну скалярного поля за напрямом вектора в точці за формулою:

.

Знайдемо частинні похідні функції та їх значення в точці :

, ,

.

Тоді за формулою (3) з урахуванням того, що , будемо мати:

.

Оскільки , то скалярне поле поле в напрямі вектора зростає.

Завдання № 1. Знайти ротор і дивергенцію векторного поля в точці

,

Розв’язання.

Маємо з умови

Знайдемо частинні похідні:

Знайдемо дивергенцію векторного поля за формулою Отже

Ротор векторного поля обчислимо за формулою

. Отже,