Інтегральні характеристики векторних полів

Завдання № 3. Обчислити потік векторного поля через зовнішню сторону замкненої поверхні .

1) , : , .

2) , : , .

3) , : , ,

4) , : , .

1) , : , .

Розв’язання. 1) Поверхня – піраміда, утворена площиною і координатними площинами. Побудуємо поверхню . Для цього перетворимо рівняння площини до вигляду . (Поділити ліву і праву частини на 4)

2) Потік векторного поля через зовнішню сторону замкненої поверхні будемо шукати за формулою Остроградського-Гаусса в векторній формі:

Знайдемо дивергенцію векторного поля за формулою:

Маємо з умови , , .

Тоді , , , .

Потік дорівнює

,

де – об’єм заданої піраміди. Обчислимо об’єм заданої піраміди за формулою . В даної піраміди основа – прямокутний трикутник з катетами довжиною 4 та 2 відповідно, а висота . Отже, .

Остаточно потік дорівнює .

Відповідь: .

2) , : , .

Розв’язання. 1) Поверхня – поверхня тіла, обмеженого конусом і площиною .

2) Потік векторного поля через зовнішню сторону замкненої поверхні будемо шукати за формулою Остроградського-Гаусса в векторній формі:

Знайдемо дивергенцію векторного поля за формулою:

.

Маємо з умови , , .

Тоді , , , .

Потік дорівнює

Відповідь: .

3) , : , ,

Розв’язання. 1) Поверхня – поверхня тіла, обмеженого конусом , сферою і площиною .

2) Потік векторного поля через зовнішню сторону замкненої поверхні будемо шукати за формулою Остроградського-Гаусса в векторній формі:

Знайдемо дивергенцію векторного поля за формулою:

.

Маємо з умови , , .

Тоді , , , .

Потік дорівнює

Обчислимо внутрішній інтеграл окремо

Відповідь:

4) , : , .

Розв’язання. 1) Поверхня – поверхня тіла, обмеженого параболоїдом і площиною .

2) Потік векторного поля через зовнішню сторону замкненої поверхні будемо шукати за формулою Остроградського-Гаусса в векторній формі:

Знайдемо дивергенцію векторного поля за формулою:

.

Маємо з умови , , .

Тоді , , , .

Потік дорівнює

.

Відповідь: .

Завдання № 4. Обчислити циркуляцію векторного поля по замкненої кривій (обхід кривої в додатному напрямі або у напрямі, що відповідає зростанню параметра ):

а) безпосередньо, використовуючи означення циркуляції;

б) за формулою Стокса.

1) , : .

2) , : .

1) , :

Розв’язання. а) Контур є коло радіуса , яке лежить на площині .

Запишемо рівняння кола у просторі у параметричному вигляді:

:

Тоді , , .

Маємо з умови , , .

Знайдемо циркуляцію векторного поля за формулою:

.

б) Циркуляцію векторного поля по контуру будемо шукати за формулою Стокса в векторній формі:

.

Для обчислення циркуляції за формулою Стокса виберемо будь-яку поверхню , межею якої є контур . Найпростішою такою поверхнею є круг у площині , натягнутий на коло . Тоді вектор нормалі до поверхні . Знайдемо ротор векторного поля за формулою:

.

.

Циркуляція дорівнює:

.

Відповідь: .

2) , : .

Розв’язання. а) З'ясуємо вигляд кривої . Якщо підставити , у вираз для : , то отримаємо , тобто . Крива є еліпс – лінія перетину кругового циліндра і площини .

Маємо з умови , , , , , .

Знайдемо циркуляцію векторного поля за формулою:

Обчислимо спочатку підінтегральний вираз:

Будемо мати:

.

б) Циркуляцію векторного поля по контуру будемо шукати за формулою Стокса в векторній формі:

.

Для обчислення циркуляції за формулою Стокса виберемо будь-яку поверхню , межею якої є контур . Найпростішою такою поверхнею є внутрішня частина еліпса у площині , тобто : . Еліпс проектується на площину в коло . Отже, проекцією поверхні на площину буде круг .

Знаходимо одиничний вектор нормалі до поверхні . Поверхня визначається рівнянням , – її нормальний вектор, тоді одиничний вектор нормалі в точці визначається так:

.

Виберемо знак " +", тому що за умовою обхід кривої обирається в додатному напрямі або у напрямі, що відповідає зростанню параметра .

Тоді

.

Знайдемо довжину : .

Отже, одиничний вектор нормалі до поверхні :

, бо , як нормальний вектор до площини , отже

Знайдемо ротор векторного поля за формулою:

.

.

Тоді

,

.

Циркуляція дорівнює:

.

Відповідь: .

Завдання № 5. Визначити, чи є векторне поле соленої-дальним, потенціальним або лапласовим.

1) .

Розв’язання. 1) .

Маємо з умови , ,

.

Векторне поле соленоїдальне, якщо . Знайдемо дивергенцію векторного поля:

.Отже, дане поле соленоїдальне.

Векторне поле потенціальне, якщо . Знайдемо ротор векторного поля:

.

.

Отже, дане поле потенціальне.

2) .

Розв’язання. Маємо з умови , ,

.

Векторне поле соленоїдальне, якщо . Знайдемо дивергенцію векторного поля:

.

Отже, дане поле соленоїдальне.

Векторне поле потенціальне, якщо . Знайдемо ротор векторного поля:

.

.

Отже, дане поле не є потенціальним.