Функции одной переменной

ТЕМА 4. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

1. Основные подмножества (промежутки) расширенной числовой прямой. Окрестность точки.

2. Понятие функции, способы задания функций.

3. Основные характеристики функций.

4. Сложная и обратная функции.

5. Основные элементарные функции.

При изучении природных и технических процессов все время приходится иметь дело с постоянными и переменными величинами.

О.0.1. Постоянная величина – величина, сохраняющая одно и тоже численное значение (или вообще, или в данном процессе; в последнем случае постоянная величина называется параметром).

Примеры: температура кипения воды при нормальном давлении; скорость тела, движущегося равномерно и прямолинейно и т.п.

О.0.2. Переменная величина – величина, которая может принимать различные числовые значения.

Примеры: скорость камня, брошенного вверх; длина и диаметр окружности и т.п.

Следует отметить, что при рассмотрении конкретных физических явлений может иметь место такое положение, что величина с одним и тем же названием в одном явлении оказывается постоянной, а в другом – переменной.

Пример. Скорость равномерного движения – величина постоянная, а скорость равномерно ускоренного движения – величина переменная.

При изучении различных явлений природы и решении технических задач, а, следовательно, и в математике приходится рассматривать изменение одних переменных величин в зависимости от изменения других переменных величин. Зависимость между переменными величинами определяется с помощью понятия функции. Это понятие наиболее полно и конкретно отражает явления и процессы окружающего нас мира, где все взаимосвязано и взаимообусловлено. Понятие функции является важнейшим и центральным понятием математического анализа.

Математический анализ – совокупность разделов математики, посвященных исследованию функций и их обобщений.

Предметом изучения математического анализа являются переменные величины, рассматриваемые в их взаимосвязи, т.е. прежде всего функции.

Основным методом изучения функций является метод пределов.

Зародился этот метод в глубокой древности в связи с вычислением площадей криволинейных фигур и объемов тел, ограниченных кривыми поверхностями. В то время этот метод был весьма несовершенен.

Научную разработку метод пределов получил в трудах английского математика, физика и механика Исаака Ньютона (1642-1727), а так же немецкого математика Готфрида Вильгельма Лейбница (1646-1716).

Этот метод применялся для решения многих задач геометрии, механики, физики и прикладных наук, хотя определения предела дано не было. Прошел длительный период, сопровождавшийся борьбой взглядов, преодолением трудностей, пока в 20-е годы 19 века французский математик Огюст Луи Коши (1789-1857) систематически развил теорию пределов как метод стройного построения математического анализа. Вот как определяет Коши понятие предела: «Если значения переменной величины неограниченно приближаются к фиксированному значению так, что с некоторого момента отличаются от него сколь угодно мало, то это фиксированное значение является пределом переменной».

Тесная связь с практикой, с прикладными науками стала характерной особенностью математического анализа с первых лет его самостоятельного существования. Последовавшее за опубликованием работ Ньютона и Лейбница бурное развитие математического анализа превратило его к концу 18 века в мощный арсенал средств самых разнообразных технических задач. Благодаря этому знакомство с математическим анализом, овладение его методами ещё тогда сделалось обязательным для каждого инженера.

Математический анализ в широком понимании этого термина охватывает весьма большую часть математики. Вместе с тем термин «математический анализ» часто употребляется для наименования только основ математического анализа, объединяющих в себе теорию действительного числа, теорию рядов, теорию пределов, дифференциальное и интегральное исчисление и их непосредственные приложения, такие как теория экстремумов, теория неявных функций, ряды Фурье, интегралы Фурье.

Вопрос 1. Основные подмножества (промежутки) расширенной числовой прямой

В математическом анализе мы будем работать с переменными величинами. Переменная величина считается заданной, если известно множество всех значений, которые она принимает.

О.1.1. Множество действительных чисел R, дополненное элементами и , исходя из условия, что для : , называется расширенным множеством действительных чисел или расширенной числовой прямой. Обозначение: .

Символы и - не числа: это символическое обозначение процесса неограниченного удаления точек числовой прямой от начала О.