Треугольник Паскаля

Сочетаниями без повторений занимался еще великий Паскаль. Он предложил специальную таблицу значений сочетаний без повторений.

Значения представлены в табл. 6, которая называется треугольником Паскаля.

Таблица 6

Треугольник Паскаля

Заметим, что .

Этот треугольник удивительно красив своей математической красотой, и в его числах можно при желании отыскать различные закономерности. Его можно представить несколько иначе – в виде [26]: равнобедренного треугольника (рис. 10).

Рис. 10. Треугольник Паскаля

Здесь каждое число, кроме единиц на боковых сторонах, является суммой двух чисел, стоящих над ним. Поэтому:

(приводим к общему знаменателю)

(выносим n! за скобку в знаменателе)

Из этого соотношения и вытекает эффективный способ рекуррентного вычисления значений биномиальных коэффициентов.

Докажем соотношение 1)

Это может использоваться при вычислениях, например, вместо можно вычислить .

Докажем соотношение 2)