Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Сочетания
|
|
Сочетаниями из n элементов по m элементов называются комбинации, составленные из данных n элементов по m элементов, которые различаются хотя бы одним элементом (отличие сочетаний от размещений в том, что в сочетаниях не учитывается порядок элементов).
Число сочетаний без повторений (n различных элементов, взятых по m) вычисляется по формуле:
|
Число сочетаний c повторениями (n элементов, взятых по m, где элементы в наборе могут повторяться) вычисляется по формуле:
|
Пример. Возьмем буквы Б, А, Р. Какие сочетания из этих букв, взятых по две, можно получить? Сколько таких наборов получится, если: 1) буквы в наборе не повторяются; 2) можно брать по два одинаковые буквы.
Решение.
1. Получатся наборы: БА (БА и АБ - один и тот же набор), АР и РБ
По формуле (3.5) получаем: 
наборов.
2. Получатся наборы: ББ, БА, БР, АА, АР, РР.
По формуле (3.6) получаем: 
наборов.
Пример. Из 20 учащихся надо выбрать двух дежурных. Сколькими способами это можно сделать?
Решение. Надо выбрать двух человек из 20. Ясно, что от порядка выбора ничего не зависит, то есть Иванов-Петров или Петров-Иванов - это одна и та же пара дежурных. Следовательно, это будут сочетания из 20 по 2.
По формуле (3.5) получаем: 
способов.
Пример. В хлебном отделе имеются булки белого и черного хлеба. Сколькими способами можно купить 6 булок хлеба?
Решение. Обозначая булки белого и черного хлеба буквами Б и Ч, составим несколько выборок: ББББББ, ББЧЧББ, ЧЧЧЧЧБ,... Состав меняется от выборки к выборке, порядок элементов несущественен, значит это - сочетания с повторениями из 2 по 6. По формуле (3.6) получаем 
способов.
Cделаем проверку и выпишем все варианты покупки: ББББББ, БББББЧ, ББББЧЧ, БББЧЧЧ, ББЧЧЧЧ, БЧЧЧЧЧ, ЧЧЧЧЧЧ. Их действительно 7.
Схема определения вида комбинации:
Перестановки без повторений — комбинаторные соединения, которые могут отличаться друг от друга лишь порядком входящих в них элементов.
формула для нахождения количества перестановок без повторений:
Перестановки с повторениями — комбинаторные соединения, в которых среди образующих элементов имеются одинаковые.В таких соединяниях участвуют несколько типов объектов, причём имеется некоторое количество объектов каждого типа. Поэтому в выборках встречаются одинаковые.
формула для нахождения количества перестановок с повторениями:
Правило суммы. Если некоторый объект 
может быть выбран из совокупности объектов 
способами, а другой объект 
может быть 
способами, то выбрать либо , либо можно 
способами.
Правило произведения. Если некоторый объект может быть выбран из совокупности объектов способами и после каждого такого выбора другой объект может быть выбран способами, то пара объектов 
в указанном порядке может быть выбрана 
способами.
Упорядоченные 
-элементные подмножества множества из 
элементов называются размещениями из элементов по .
Различные размещения из по отличаются компонентами либо их порядком. Общее число размещений без повторений из элементов по обозначаются 
и равно
Так как повторение элементов не допускается, то всегда 
. Будем считать, что при 
имеем одно размещение (элементы вообще не выбираются), т. е. положим 
.
Размещение элементов можно представить себе как заполнение некоторых позиций элементами заданного множества. При этом 1-ю позицию можно заполнить различными способами. После того как 1-я позиция заполнена, элемент для заполнения 2-й позиции можно выбрать 
способами. Если этот процесс продолжить, то после заполнения позиций с 1-й по 
-ю будет иметься 
способов заполнения последней -й позиции. Перемножая эти цифры, мы получаем формулу.
В частном случае, когда 
, имеем
Пример. Пусть дано множество из четырех элементов 
. Какие различные размещения по два элемента можно составить и сколько их, т. е. 
?
Количество размещений 
.
Множество размещений 
.
Задача. Студенту необходимо сдать 4 экзамена за 8 дней. Сколькими способами можно это сделать, если в один день сдавать не более одного экзамена?
Искомое число способов равно числу четырехэлементных упорядоченных подмножеств (дни сдачи экзаменов) множества из 8 элементов:
