Задача 1. Раскладка по ящикам
Даны различных предметов и ящиков. Надо положить в первый ящик предметов, во второй - предметов,..., в -й - предметов, где Сколькими способами можно сделать такое распределение?
Число различных раскладок по ящикам равно

Эту формулу можно получить при решении следующей, на первый взгляд, совсем непохожей задачи:
Задача 2. Перестановки с повторением.
Имеются предметы различных типов. Сколько различных перестановок можно сделать из предметов первого типа, предметов второго типа,..., предметов -го типа? Число элементов в каждой перестановке равно . Поэтому если бы все элементы были различны, то число перестановок равнялось бы !. Но из-за того, что некоторые элементы совпадают, получится меньшее число перестановок. В самом деле, возьмем, например, перестановку
| (5.1)
| в которой сначала выписаны все элементы первого типа, потом все элементы второго типа,..., наконец, все элементы -го типа. Элементы первого типа можно переставлять друг с другом ! способами. Но так как все эти элементы одинаковы, то такие перестановки ничего не меняют. Точно так же ничего не меняют ! перестановок элементов второго типа,..., ! перестановок элементов -го типа.
Перестановки элементов первого типа, второго типа и так далее можно делать независимо друг от друга. Поэтому элементы перестановки 5.1. можно переставлять друг с другом ! способами так, что она остается неизменной. То же самое верно и для любого другого расположения элементов. Поэтому множество всех ! перестановок распадается на части, состоящие из ! одинаковых перестановок каждая. Значит, число различных перестановок с повторениями, которые можно сделать из данных элементов, равно
| (5.2)
| где 
Пользуясь формулой 5.2, можно ответить на вопрос: сколько перестановок можно сделать из букв слова " Миссисипи"? Здесь у нас одна буква " м", четыре буквы " и", три буквы " с" и одна буква " п", а всего 9 букв. Значит, по формуле 5.2 число перестановок равно

Чтобы установить связь между этими задачами, занумеруем все мест, которые могут занимать наши предметы. Каждой перестановке соответствует распределение номеров мест на классов. В первый класс попадают номера тех мест, на которые попали предметы первого типа, во второй - номера мест предметов второго типа и так далее. Тем самым устанавливается соответствие между перестановками с повторениями и раскладкой номеров мест по " ящикам". Понятно, что формулы решения задач оказались одинаковыми.
В рассмотренных задачах мы не учитывали порядок, в котором расположены элементы каждой части. В некоторых задачах этот порядок надо учитывать.
Задача 3. Флаги на мачтах.
Имеется различных сигнальных флагов и мачт, на которые их вывешивают. Значение сигнала зависит от того, в каком порядке развешены флаги. Сколькими способами можно развесить флаги, если все флаги должны быть использованы, но некоторые из мачт могут оказаться пустыми?
Каждый способ развешивания флагов можно осуществить в два этапа. На первом этапе мы переставляем всеми возможными способами данные флагов. Это можно сделать ! способами. Затем берем один из способов распределения одинаковых флагов по мачтам (число этих способов ). Пусть этот способ заключается в том, что на первую мачту надо повесить флагов, на вторую - флагов,..., на -ю флагов, где Тогда берем первые флагов данной последовательности и развешиваем в полученном порядке на первой мачте; следующие флагов развешиваем на второй мачте и т.д. Ясно, что используя все перестановки флагов и все способы распределения одинаковых флагов по мачтам, получим все способы решения поставленной задачи. По правилу произведения получаем, что число способов развешивания флагов равно
| (5.3)
| Вообще, если имеется различных вещей, то число способов распределения этих вещей по различным ящикам равно 
|