Корреляции

Определение корреляции. Корреляция представляет собой меру зависимости переменных. Наиболее известна корреляция Пирсона. При вычислении корреляции Пирсона предполагается, что переменные измерены, как минимум, в интервальной шкале (лекц. 7). Некоторые другие коэффициенты корреляции могут быть вычислены для менее информативных шкал. Коэффициенты корреляции изменяются в пределах от -1.00 до +1.00. Обратите внимание на крайние значения коэффициента корреляции. Значение -1.00 означает, что переменные имеют строгую отрицательную корреляцию. Значение +1.00 означает, что переменные имеют строгую положительную корреляцию, значение 0.00 означает отсутствие корреляции.

Наиболее часто используемый коэффициент корреляции Пирсона r называется также линейной корреляцией, т.к. измеряет степень линейных связей между переменными. Корреляция Пирсона (обычно называемая просто корреляцией) определяет степень, с которой значения двух переменных " пропорциональны" друг другу. Важно, что значение коэффициента корреляции не зависит от масштаба измерения. Например, корреляция между ростом и весом будет одной и той же, независимо от того, проводились измерения в дюймах и фунтах или в сантиметрах и килограммах. Пропорциональность означает просто линейную зависимость. Корреляция высокая, если на графике зависимость " можно представить" прямой линией (с положительным или отрицательным углом наклона). См. рис. 2, лекция 7. Проведенная прямая называется прямой регрессии или прямой, построенной методом наименьших квадратов. Последний термин связан с тем, что сумма квадратов расстояний (вычисленных по оси Y) от наблюдаемых точек до прямой является минимальной. Заметим, что использование квадратов расстояний приводит к тому, что оценки параметров прямой сильно реагируют на выбросы.

Как интерпретировать значения корреляций. Коэффициент корреляции Пирсона (r) представляет собой меру линейной зависимости двух переменных. Если возвести его в квадрат, то полученное значение коэффициента детерминации r ². Чтобы оценить зависимость между переменными, нужно знать как " величину" корреляции, так и ее значимость.

Значимость корреляций. Уровень значимости, вычисленный для каждой корреляции, представляет собой главный источник информации о надежности корреляции. Как отмечено в лекции 7), значимость определенного коэффициента корреляции зависит от объема выборок. Критерий значимости основывается на предположении, что распределение остатков (т.е. отклонений наблюдений от регрессионной прямой) для зависимой переменной y является нормальным (с постоянной дисперсией для всех значений независимой переменной x). Исследования методом Монте-Карло показали, что нарушение этих условий не является абсолютно критичным, если размеры выборки не слишком малы, а отклонения от нормальности не очень большие. Тем не менее, имеется несколько серьезных опасностей, о которых следует знать.

Выбросы. По определению, выбросы являются нетипичными, резко выделяющимися наблюдениями. Так как при построении прямой регрессии используется сумма квадратов расстояний наблюдаемых точек до прямой, то выбросы могут существенно повлиять на наклон прямой и, следовательно, на значение коэффициента корреляции. Поэтому единичный выброс (значение которого возводится в квадрат) способен существенно изменить наклон прямойрегрессии и, следовательно, значение корреляции. Если размер выборки относительно мал, то добавление или исключение некоторых данных (которые, возможно, даже не являются " выбросами") способно оказать существенное влияние на прямую регресии (и коэффициент корреляции).

Обычно считается, что выбросы представляют собой случайную ошибку, которую следует контролировать. К сожалению, не существует общепринятого метода автоматического удаления выбросов. Чтобы не быть введенными в заблуждение полученными значениями, необходимо проверить на диаграмме рассеяния (см. рис.1, 2, 3 лекции7) каждый важный случай значимой корреляции. Очевидно, выбросы могут не только искусственно увеличить значение коэффициента корреляции, но также реально уменьшить существующую корреляцию.

Количественный подход к выбросам. Иногда используются численные методы удаления выбросов. Например, исключаются значения, которые выходят за границы ±2 стандартных отклонений (и даже ±1.5 стандартных отклонений) вокруг выборочного среднего. В ряде случаев такая " чистка" данных абсолютно необходима. К сожалению, в общем случае, определение выбросов субъективно, и решение должно приниматься индивидуально в каждом эксперименте (с учетом особенностей эксперимента или " сложившейся практики" в данной области). В некоторых случаях относительная частота выбросов к численности групп может быть исследована и разумно проинтерпретирована с помощью доверительных эллипсов.

Эллипс для предсказанного интервала (области): Эллипс такого типа используется для обозначения доверительного интервала для предсказанных значений единичного наблюдения (предсказанного интервала). Параметры этого эллипса вычисляются в предположении о том, что две переменные имеют двумерное нормальное распределение. Ориентация эллипса определяется знаком линейной корреляции между двумя переменными (более длинная ось эллипса накладывается на линию регрессии). Вероятность того, что новые значения пары переменных (x и y) попадут в область, ограниченную эллипсом, равна значению коэффициента, задающего эллипс (например, 95%). На рис. 2 и 3 лекции7 приведены такие эллипсы. Результаты измерений, отображенные точками, расположенные за границами эллипсов, возможно, являются выбросами.

Корреляции в неоднородных группах. Отсутствие однородности в выборке также является фактором, смещающим (в ту или иную сторону) выборочную корреляцию. Представьте ситуацию, когда коэффициент корреляции вычислен по данным, которые поступили от двух различных популяций. Такой пример иллюстрирован рис. 1 (лекц. 7). Если такое явление возможно и из каких-то соображений известно, как определить " подмножества" данных, нужно вычислить корреляции отдельно для каждого множества, как и было сделано нами. Если неясно, как определить подмножества, можно попытаться применить многомерные методы разведочного анализа (например, кластерный анализ. В системе STATISTICA имеется соответствующие модули, например, Кластерный анализ.

Нелинейные зависимости между переменными. Другим возможным источником трудностей, связанным с линейной корреляцией Пирсона r, является форма зависимости. Корреляция Пирсона r хорошо подходит для описания линейной зависимости. Отклонения от линейности увеличивают общую сумму квадратов расстояний от регрессионной прямой, даже если она представляет " истинные" и очень тесные связи между переменными. Это еще одна причина, вызывающая необходимость рассмотрения диаграммы рассеяния для каждого коэффициента корреляции. Например, следующий график показывает сильную зависимость между двумя переменными, которую невозможно хорошо описать с помощью линейной функции.

Измерение нелинейных зависимостей. Что делать, если корреляция сильная, однако зависимость явно нелинейная? К сожалению, не существует простого ответа на данный вопрос, так как не имеется естественного обобщения коэффициента корреляции Пирсона r на случай нелинейных зависимостей. Однако, если кривая монотонна (монотонно возрастает или, напротив, монотонно убывает), то можно преобразовать одну или обе переменные, чтобы сделать зависимость линейной, а затем уже вычислить корреляцию между преобразованными величинами. Для этого часто используется логарифмическое преобразование. Другой подход состоит в использовании непараметрической корреляции (например, корреляции Спирмена, из модуля Непараметрическая статистика и подгонка распределений). Иногда этот метод приводит к успеху, хотя непараметрические корреляции чувствительны только к упорядоченным значениям переменных, например, по определению, они пренебрегают монотонными преобразованиями данных. К сожалению, два самых точных метода исследования нелинейных зависимостей непросты и требуют хорошего навыка " экспериментирования" с данными. Эти методы состоят в следующем:

A. Нужно попытаться найти функцию, которая наилучшим способом описывает данные. После того, как вы определили функцию, можно проверить ее " степень согласия" с данными.

B. Вы можете иметь дело с данными, разбитыми некоторой переменной на группы (например, на 4 или 5 групп). Тогда нужно определить эту переменную как группирующую переменную, а затем примените дисперсионный анализ.

Разведочный анализ корреляционных матриц. Во многих исследованиях первый шаг анализа состоит в вычислении корреляционной матрицы всех переменных и проверке значимых (ожидаемых и неожиданных) корреляций. После того как это сделано, следует понять общую природу обнаруженной статистической значимости. Иными словами, понять, почему одни коэффициенты корреляции значимы, а другие нет. Однако следует иметь в виду, если используется несколько критериев, значимые результаты могут появляться " удивительно часто", и это будет происходить чисто случайным образом. Например, коэффициент, значимый на уровне 0.05, будет встречаться чисто случайно один раз в каждом из 20 подвергнутых исследованию коэффициентов. Нет способа автоматически выделить " истинную" корреляцию. Поэтому следует подходить с осторожностью ко всем не предсказанным или заранее не запланированным результатам и попытаться соотнести их с другими (надежными) результатами. В конечном счете, самый убедительный способ проверки состоит в проведении повторного экспериментального исследования. Такое положение является общим для всех методов анализа, использующих " множественные сравнения и статистическую значимость".

Построчное удаление пропущенных данных в сравнении с попарным удалением. Принятый по умолчанию способ удаления пропущенных данных при вычислении корреляционной матрицы – состоит в построчном удалении наблюдений с пропусками (удаляется вся строка, в которой имеется хотя бы одно пропущенное значение). Этот способ приводит к " правильной" корреляционной матрице в том смысле, что все коэффициенты вычислены по одному и тому же множеству наблюдений. Однако если пропущенные значения распределены случайным образом в переменных, то данный метод может привести к тому, что в рассматриваемом множестве данных не останется ни одного неисключенного наблюдения (в каждой строке наблюдений встретится, по крайней мере, одно пропущенное значение). Чтобы избежать подобной ситуации, используют другой способ, называемый попарным удалением. В этом способе учитываются только пропуски в каждой выбранной паре переменных и игнорируются пропуски в других переменных. Корреляция между парой переменных вычисляется по наблюдениям, где нет пропусков. Во многих ситуациях, особенно когда число пропусков относительно мало, скажем 10%, и пропуски распределены достаточно хаотично, этот метод не приводит к серьезным ошибкам.

Попарное удаление пропущенных данных в сравнении с подстановкой среднего значения. Другим общим методом, позволяющим избежать потери наблюдений при построчном способе удаления наблюдений с пропусками, является замена средним (для каждой переменной пропущенные значения заменяются средним значением этой переменной). Подстановка среднего вместо пропусков имеет свои достоинства и недостатки в сравнении с попарным способом удаления пропусков. Основное преимущество в том, что он дает состоятельные оценки, однако имеет следующие недостатки:

1. Подстановка среднего искусственно уменьшает разброс данных, иными словами, чем больше пропусков, тем больше данных, совпадающих со средним значением, искусственно добавленным в данные.

2. Так как пропущенные данные заменяются искусственно созданными " средними", то корреляции могут сильно уменьшиться.

Ложные корреляции. Основываясь на коэффициентах корреляции, нельзя строго доказать причинной зависимости между переменными, однако можно определить ложные корреляции, т.е. корреляции, которые обусловлены влияниями " других", остающихся вне поля зрения переменных. Лучше всего понять ложные корреляции на простом примере. Известно, что существует корреляция между ущербом, причиненным пожаром, и числом пожарных, тушивших пожар. Однако эта корреляция ничего не говорит о том, насколько уменьшатся потери, если будет вызвано меньше число пожарных. Причина в том, что имеется третья переменная (начальный размер пожара), которая влияет как на причиненный ущерб, так и на число вызванных пожарных. Если " контролировать" эту переменную (например, рассматривать только пожары определенной величины), то исходная корреляция (между ущербом и числом пожарных) либо исчезнет, либо, возможно, даже изменит свой знак. Основная проблема ложной корреляции состоит в том, что неизвестна ее причина (переменная, которая ее вызвала). Тем не менее, если вы знаете, где искать, то можно воспользоваться частные корреляции, чтобы контролировать (частично исключенное) влияние определенных переменных.

Являются ли коэффициенты корреляции " аддитивными"? Нет, не являются. Например, усредненный коэффициент корреляции, вычисленный по нескольким выборкам, не совпадает со " средней корреляцией" во всех этих выборках. Причина в том, что коэффициент корреляции не является линейной функцией величины зависимости между переменными. Коэффициенты корреляции не могут быть просто усреднены. Если вас интересует средний коэффициент корреляции, следует преобразовать коэффициенты корреляции в такую меру зависимости, которая будет аддитивной. Например, до того, как усреднить коэффициенты корреляции, их можно возвести в квадрат, получить коэффициенты детерминации, которые уже будут аддитивными.

Как определить, являются ли два коэффициента корреляции значимо различными. Имеется критерий, позволяющий оценить значимость различия двух коэффициентов корреляциями. Результат применения критерия зависит не только от величины разности этих коэффициентов, но и от объема выборок и величины самих этих коэффициентов. В соответствии с ранее обсуждаемыми принципами, чем больше объем выборки, тем меньший эффект мы можем значимо обнаружить. Вообще говоря, в соответствии с общим принципом, надежность коэффициента корреляции увеличивается с увеличением его абсолютного значения, относительно малые различия между большими коэффициентами могут быть значимыми. Например, разница 0.10 между двумя корреляциями может не быть значимой, если коэффициенты равны 0.15 и 0.25, хотя для той же выборки разность 0.10 может оказаться значимой для коэффициентов 0.80 и 0.90.