ТЕОРЕМА 4.16. Если функция определена на отрезке с концами и и в точке имеет производные до -го порядка включительно, то при имеет место формула

Формула Тейлора для дифференцируемой функции.

Пусть имеем функцию , которая раз дифференцируема в некоторой точке . Тогда для нее можно составить многочлен

, (1)

который называют многочленом Тейлора порядка функции в точке .

Рассмотрим величину

(2)

уклонения многочлена Тейлора от функции , которая называется -ым остаточным членом. Легко видеть, что если функция является многочленом, то она совпадает со своим многочленом Тейлора и поэтому .

Рассмотрим теорему, которая дает оценку остаточному члену формулы Тейлора через некоторую функцию и точку , лежащую между и .

ТЕОРЕМА 4.15. Если на отрезке с концами и функция непрерывна вместе со всеми своими производными функциями до -го порядка включительно, а во внутренних точках этого отрезка она имеет производную функцию -го порядка, то при любой функции, непрерывной на этом отрезке и имеющей отличную от нуля производную функцию в его внутренних точках, найдется точка, лежащая между и такая, что

.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим на отрезке с концами и вспомогательную функцию такую, что . В развернутом виде функция выглядит так.

Найдем производную функцию .

.

Применим к функциям и теорему Коши на отрезке с концами и . Тогда найдется точка , лежащая между и , что

. (3)

Заметим, что и .

Значит равенство (3) примет вид

Отсюда и получается требуемая формула.

Рассмотрим некоторые частные случаи теоремы 4.15.

1) Пусть . Тогда . Поэтому

.

Полученное выражение называется остаточным членом в форме Коши.

2) Пусть . Тогда . Поэтому

Это остаточный член в форме Лагранжа.

ТЕОРЕМА 4.16. Если функция определена на отрезке с концами и и в точке имеет производные до -го порядка включительно, то при имеет место формула

. (4)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для доказательства теоремы достаточно показать, что . Из формулы (2) имеем .

Продифференцировав это равенство раз, получим

...................................................

Теперь заметим, что

;

;

;

..............................................................

.

Поэтому для вычисления требуемого предела, применив раз теорему Лопиталя, получим

Теорема доказана.

Формула (4) называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

Рассмотрим применение формулы Тейлора для приближенного вычисления числа с точностью до 0, 001.

Возьмем функцию . Выберем и запишем для этой функции формулу Тейлора. Для этого найдем значения производных функции в точке .

.

Поэтому .

Следовательно, формула Тейлора имеет вид:

. (*)

Запишем остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа. Заметив, что , получаем , где находится между и 0.

Полагая в формуле (*) =1, будем иметь

. (**)

где . Определим, сколько членов в равенстве (**) нужно взять, чтобы обеспечить заданную точность. Для этого оценим остаточный член. Учитывая, что , получаем такую оценку

, или .

Отсюда подбором находим : . Следовательно, для решения поставленной задачи достаточно взять 6 членов (начиная с нулевого) в формуле Тейлора.

.