ТЕОРЕМА 4.18. Если функция непрерывна на , дифференцируема на и , то функция монотонно возрастает на .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Выберем на произвольно две точки и такие, что . Применим к функции на отрезке теорему Лагранжа. Получим

, (1)

где – некоторое число, удовлетворяющее условию .

Так как и , то из равенства (1) следует, что , а это и означает монотонное возрастание функции на .

ТЕОРЕМА 4.19. Если функция непрерывна на, дифференцируема на и, то функция монотонно убывает на.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО аналогично доказательству теоремы 4.18.

Замечание. Теоремы 4.18 и 4.19 остаются справедливыми, если вместо строгих неравенств будут выполняться нестрогие: или соответственно, но при одном дополнительном условии: равенство должно выполняться лишь в отдельных, изолированных точках, но не должно выполняться на некотором интервале, так как в этом случае по теореме 4.17 функция будет постоянной на этом интервале и нарушится строгая монотонность.