Пример решения.

Основные показатели продолжительности жизни

Данные, необходимые для проведения расчетов, содержатся в таблицах смертности, или, как их еще называют, таблицах продолжительности жизни, которые представляют собой набор столбцов, отвечающих различным демографическим показателям (табл.1):

1. - возраст населения, хÎ [0, w], где – предельный возраст, который может быть равен 100, 110 или 120 годам. При этом считается, что число людей в возрасте равно нулю.

2. - изменение размера когорты (выборки), т.е. это число людей в возрасте (или доживших до возраста х) из начальной совокупности (числа родившихся) . Величина – первое значение данного столбца – называется корнем таблицы и обычно равно 10 000, 100 000, 1 000 000.

3. - число людей, умерших в возрасте :

Табл.1. Фрагмент таблицы продолжительности жизни

…	…	…
…	…	…

С параметрами, указанными в таблице смертности, связаны величины, которые часто используются в актуарных расчетах.

Величина - вероятность умереть в течение года для человека в возрасте х лет - может быть определена следующим образом: .

Тогда величина - вероятность дожить до возраста для человека в возрасте х лет: .

Обозначив через вероятность прожить еще n лет для человека в возрасте х, получим: .

Отсюда вероятность для человека в возрасте умереть в течение следующих n лет: .

Например, через обозначается вероятность для человека в возрасте 20 лет дожить до 90 лет; через - вероятность для человека в возрасте 40 лет умереть в возрасте от 40 до 60 лет (то есть не дожить до 61 года);

Введем еще одну характеристику продолжительности жизни. Будем обозначать – вероятность для человека в возрасте прожить еще s лет и умереть в течение следующих за тем n лет (т.е. в возрасте от до лет). Понятно, что данная вероятность определяется как произведение вероятностей вида: .

Задача

Определить для человека в возрасте 60 лет вероятности прожить еще год; умереть в течение предстоящего года жизни; прожить еще десять лет; вероятность умереть на 14-ом году предстоящей жизни.

Пример решения.

При решении задачи будем пользоваться таблицей смертности (см. Приложение).

Вероятность прожить еще год:

.

Вероятность умереть в течение предстоящего года жизни:

(= ).

Вероятность прожить еще десять лет:

.

Вероятность умереть на 14-ом году предстоящей жизни:

.