Ожидаемые значения

Какую из следующих двух ставок вы бы сделали, если было бы можно выбрать лишь одну из них?

1. Большая дюжина: игра стоит один доллар. Если, бросив пару игральных костей, вы получите 12 очков, вам вернут ваш доллар плюс еще 24 доллара. Если выпадет любая другая сумма, вы проиграли свой доллар.

2. Счастливая семерка, игра стоит один доллар (так же, как в предыдущем случае). Если, бросив пару игральных костей, вы получите в сумме 7 очков, вам вернут ваш доллар плюс еще б долларов. Если выпадет любая другая сумма, вы проиграли свой доллар.

Теперь выберите либо ставку номер 1, либо ставку номер 2.

Большинство людей выбирает ставку номер 1, считая, что 24 доллара, которые они выиграют, если выпадет 12 оков, в четыре раза больше, чем 6 долларов, которые можно выиграть, если выпадет 7 очков, а денежная величина одинакова для каждой ставки. Давайте проверим, насколько правильны такие рассуждения.

Чтобы выяснить, какая из ставок выгоднее, надо рассчитать вероятность выигрыша и проигрыша в каждом из случаев. Существует формула, которая учитывает все эти значения и дает ожидаемое значение (ОЗ) выигрыша для каждой игры. Ожидаемое значение — это количество денег, которое можно ожидать выиграть (320:) при каждой ставке, если вы все время будете продолжать играть. Формула для расчета ожидаемого значения (ОЗ) имеет следующий вид:

ОЗ = (вероятность выигрыша) х (величина выигрыша) + (вероятность проигрыша) х (величина проигрыша).

Давайте вычислим ОЗ для первой ставки. Начнем с расчета вероятности выпадения 12 при броске пары игральных костей. Существует только один способ получить 12: когда на каждой из костей выпадет 6. Вероятность этого события при условии, что кости «честные», равна 1/₆ х 1/_б = 1/₃₆ = 0, 028. (Поскольку нас интересует вероятность выпадения 6 и на первой, и на второй кости, мы используем правило «и» и перемножаем вероятности.) Таким образом, выпадение 12 ожидается в 2, 8% случаев. Чему равна вероятность, что 12 не выпадет? Поскольку вы уверены, что 12 либо выпадет, либо не выпадет (других исходов быть не может), можно вычесть 0, 028 из 1. Вероятность того, что выпадет не 12, равна 0, 972. (Это значение с небольшой ошибкой округления можно получить также, если рассчитать вероятности 35 остальных возможных исходов — каждая из них равна 1/₃₆ — и сложить их.) Все исходы, возможные при броске пары игральных костей, показаны на рис. 7.4.

ОЗ (1-я ставка) = (вероятность выпадения 12) х (выигрыш) + (вероятность выпадения не 12) х (проигрыш)

ОЗ (1-я ставка) = 0, 028 х $24 + 0, 972 х (- $1) 03 (1-я ставка) = $0, 672 - $0, 97 03 (1-я ставка) = - $0, 30

Давайте посмотрим, из чего состоит эта формула. Если выпадет 12, вы выиграете $24, которые дают величину выигрыша. Если выпадет любое другое число, вы потеряете доллар, который заплатили, чтобы вступить в игру, поэтому величина проигрыша равна $1. Вероятность выигрыша умножается на величину выигрыша. Вероятность проигрыша умножается на величину проигрыша. Затем эти два произведения складываются. ОЗ при такой ставке равно $0, 30. Это означает, что в конечном счете, если вы будете продолжать играть в эту игру много раз, вы можете ожидать, что будете проигрывать в среднем по $0, 30 при каждой игре. Конечно, при каждой игре вы можете или проиграть $1, или выиграть $24, но после множества игр вы проиграете в среднем по $0, 30 за одну игру. Если вы сыграете 1000 раз, ставя каждый раз по доллару, то вы потеряете $300.

Сравним этот результат со второй ставкой. Чтобы рассчитать ОЗ для второй ставки, мы начнем с вычисления вероятности выпадения 7 очков при броске пары костей. Сколько существует способов получить 7, бросив пару костей? Семь очков получится, если выпадет 1 на первой кости и 6 на второй, 2 и 5, 3 и 4, 4 и 3, 5 и 2 или 6 и 1. Таким образом, существует 6 возможных способов получить 7 очков из 36 возможных исходов. Вероятность любого из этих исходов равна 1/₆x 1/₆ = 1/₃₆. (Это вероятность получить, например, 1 на первой кости и 6 на второй кости.) Для определения вероятности того, что за первым выпавшим числом последует второе нужное число, вы должны применить правило «и». Поскольку теперь вас интересует вероятность выпадения 1 и 6, или 2 и 5, или 3 и 4, или 4 и 3, или 5 и 2, или 6 и 1, то (321:) следующим шагом должно быть применение правила «или». Поскольку существует 6 возможных комбинаций, вам надо сложить шесть раз по _1/6 (что, конечно, то же самое, что умножить 1/₃₆ на 6). Таким образом, вероятность выпадения 7 очков при броске пары костей равна ⁶/₃₆ (1/₆ или 0, 167). Вероятность выпадения любой другой суммы очков (не 7) равна 1 – 0, 167 = 0, 833. Теперь мы подсчитаем 03 для второй ставки:

ОЗ (2-я ставка) = (вероятность выпадения 7) х (выигрыш) + (вероятность выпадения не 7) х (проигрыш)

Рис. 7.4. Древовидная диаграмма, изображающая все исходы, возможные при броске пары игральных костей.

ОЗ (2-я ставка) = 0, 167 х $6 + 0, 833 х (- $1)

ОЗ (2-я ставка) = $1, 002 - $0, 833 = $0, 169, или приблизительно $0, 17.

Это означает, что если вы будете продолжать играть на условиях второй ставки, то вы выиграете в среднем по $0, 17 за каждую игру. Следовательно, если вы сыграете 1000 раз, ставя каждый раз по $ 1, то можно ожидать, что вы разбогатеете на $170. Конечно, как и в первом случае, вы никогда не выиграете $0, 17 за одну игру; это средний результат за много-много игр. Это то, что произойдет на большом интервале времени.

Даже если вы сначала думали иначе, лучше выбрать вторую ставку, поскольку вероятность выпадения семь очков относительно высока. Это объясняется тем, что существует шесть сочетаний, которые в сумме дают семь очков.

Существует игра, основанная на принципе, что чем больше имеется способов, которыми может произойти событие, тем выше его вероятность. Предположим, что в одной комнате собрались 40 человек, составляющих случайную выборку. Оцените вероятность того, что среди них окажутся два человека, у которых дни рождения совпадают. Возможно, вы удивитесь, узнав, что эта вероятность равна приблизительно 0, 90. Вы понимаете, почему она такая высокая? Существует очень много способов совпадения дней рождения у сорока человек. Чтобы точно рассчитать эту вероятность, надо подсчитать количество всех возможных сочетаний из сорока человек по два. Таким образом, нам придется начать с сочетания первого человека со вторым, первого с третьим и т. д., пока не дойдем до первого с сороковым; затем начнем считать сочетания второго человека с третьим второго с четвертым и т.д., пока не дойдем до сочетания второго с сороковым. Этот процесс мы будем повторять до тех пор, пока каждый из сорока человек не побывает в паре с любым из остальных. Поскольку существует так много возможных пар людей, у которых могут совпадать дни рождения, то такое «совпадение» более вероятно, чем могло показаться сначала. Вероятность совпадения чьих-нибудь дней рождения превышает 0, 50 для 23 человек и превышает 0, 75 для 32 человек (Loftus & Loftus, 1982). Вы можете воспользоваться этими знаниями, чтобы держать пари на вечеринках или любых других собраниях людей. Лучше всего, если количество людей близко к 40. Большинству людей трудно поверить, что вероятность совпадения дней рождения настолько высока.

Вы можете также воспользоваться своими знаниями по теории вероятностей для того, чтобы повысить свои шансы на успех в некоторых ситуациях. Возьмем, к примеру, Аарона и Джилл, которые спорили из-за того, кому из них выносить мусор. Их мама согласилась помочь им уладить разногласия, назвав наугад число от одного до 10. Тот из них, чье число окажется ближе к числу, названному мамой, победит в споре. Аарон был первым и назвал число «три». Какое число должна назвать Джилл, чтобы иметь максимальные шансы на победу? Прекратите чтение и подумайте, какое число ей следует выбрать.

Джилл лучше всего выбрать число «четыре». Если мама назовет любое число, большее трех, то эта стратегия принесет Джилл победу. Таким образом, она может увеличить вероятность выигрыша в ситуации, которая кажется зависящей только от случая. (323:)