Абсолютна величина і норма матриці

Нерівність між матрицями й одного типу означає, що

У такому сенсі не всякі дві матриці можна порівняти між собою.

За абсолютну величину (модуль) матриці будемо вважати матрицю

де – модулі елементів матриці .

Якщо і – матриці, для яких операції і мають сенс, то:

а)

б)

в) , ( - число).

За норму матриці вважаємо дійсне число , що задовольняє умови:

а) причому тоді і тільки тоді, коли =0;

б) ( - число) і, зокрема, ;

в) ;

г)

( і - матриці, для яких відповідні операції мають сенс).

Відзначимо ще одну важливу нерівність між нормами матриць і одного типу. Застосовуючи умову в), будемо мати

Звідси

Аналогічно

Отже,

Назвемо норму канонічною, якщо додатково виконані умови:

д) якщо то

причому для скалярної матриці маємо

е) з нерівності (А і В – матриці) випливає нерівність

Зокрема, .

Надалі для матриці довільного типу ми будемо розглядати головним чином три канонічні норми, що легко обчислюються:

1) (m – норма);

2) ( - норма);

3) ( - норма).

Приклад. Нехай

Маємо:

Нехай маємо послідовність матриць одного типу

За границю послідовності матриць вважається матриця

Послідовність матриць, що має границю, є збіжною.

Лема 1 Для збіжності послідовності матриць (к =1, 2, …) до матриці А необхідно і достатньо, щоб

при ,

де - будь-яка конічна норма матриці А. При цьому

Лема 2 Для збіжності послідовності матриць необхідно і достатньо, щоб був виконаний узагальнений критерій Коші, а саме: для будь-якого повинен існувати такий номер , що при

, де - будь-яка канонічна норма.