Отрезок. Длина отрезка. Деление отрезка в данном отношении

Отрезок прямой определяется двумя точками – его концами А и В, и обозначается [АВ] или [ВА], или АВ. Если А и В – различные точки, то отрезок [AB] единственным образом определяет прямую (АВ). В этом случае, говоря об отрезке, как о множестве точек, считают, что это множество состоит из точек А и В, а также точек, которые лежат на прямой (АВ) между точками А и В. Если выбрана единица измерения, то каждому отрезку [AB] можно сопоставить неотрицательное число , которое называется его длиной или расстоянием между точками А и В. Длину отрезка также обозначают буквами или . Если точки А и В заданы своими координатами, то длину отрезка можно вычислить по теореме Пифагора.

Пусть даны точки и (рис. 3). Длина проекции отрезка [AB] на ось ОХ составляет , а длина проекции на ось ОУ составляет . Таким образом, в прямоугольном треугольнике АВС известны длины двух катетов: , . Тогда длина гипотенузы определяется формулой или

. (2.1)

Если точка А совпадает с началом координат О, то длина отрезка [OB]

. (2.2)

Пример 1. Даны точки А(2; 6) и В(-1; 2). Найти расстояние между ними.

Решение. По условию , поэтому согласно формуле (2.1) .

Пусть теперь на отрезке [AB] зафиксирована точка М (рис.3) таким образом, что . Попробуем найти координаты этой точки . Поскольку проекции отрезка делятся точками и в том же отношении, в котором точка М делит отрезок [AB], то можно записать , .

Из полученных соотношений найдем и :

, (2.3)

. (2.4)

В частности, если точка М ─ середина отрезка, то , и

, . (2.5)

Пример 2. Даны вершины треугольника А(-22; 12), В(34; 45), С(-2; -3). Вычислить периметр треугольника АВС. Найти координаты точки пресечения медиан треугольника.

Решение. Периметром Р называется сумма длин всех сторон многоугольника, поэтому . Проведем нужные вычисления:

;

;

; .

Пусть − медиана треугольника АВС. Следовательно, точка − середина отрезка [BC] и ее координаты могут быть найдены по формулам (2.5): , . Подставим численные значения . ; координаты точки .

Известно, что все три медианы треугольника пересекаются в одной точке М, которая делит каждую медиану в отношении 2: 1, считая от вершины. Поэтому для медианы можно записать соотношение: . Теперь, используя формулы (2.3) и (2.4) деления отрезка в данном отношении при , можно записать , . Подставив числовые значения, получим , . Координаты точки пересечения медиан .

Ответ: , .

Пример 3. Найти две точки А и В, если известно, что точка С(-5; 4) делит отрезок [AB] в отношении 3: 4, а точка D(6; -5) − в отношении 2: 3.

Решение. Пусть точки А и В имеют координаты и . Тогда, согласно формулам (2.3) и (2.4), ; .

Подставим числовые значения и получим две линейные системы с двумя неизвестными

, .

Решая данные системы, получим , , , .

Ответ: А(160; -131), В(-225; 184).

Замечание. Рассматривать задачу деления отрезка в данном отношении можно и в том случае, когда точка М располагается не между точками А и В, а лежит на прямой (АВ) вне отрезка [AB]. В этом случае число отрицательное.