![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Взаимное расположение прямых на плоскости
Прямые, находящиеся в одной плоскости, будут либо пересекающимися, либо параллельными. Выясним условия, при которых прямые соответствуют тому или иному случаю, определим угол между прямыми, координаты точки пересечения, если таковая имеется. Пусть две прямые заданы уравнениями
Поскольку угловой коэффициент определяет наклон прямой к оси абсцисс, то очевидно, что равные углы наклона соответствуют параллельным прямым. Поэтому условием параллельности двух прямых, заданных уравнениями (4.1) является равенство их угловых коэффициентов
Если
Если прямые (4.1) перпендикулярны, т.е.
условие перпендикулярности двух прямых. Если прямые заданы общими уравнениями
то указанные выше условия будут выглядеть так:
условие параллельности условие перпендикулярности угол между прямыми Условие определяет совпадающие прямые. Точка пересечения двух прямых (4.5) есть общая точка этих прямых. Координаты этой точки должны одновременно удовлетворять уравнениям обеих прямых, т.е. системе
Решая эту систему, находим координаты искомой точки. Замечание. Для определения угла между прямыми, удобнее переходить к уравнению с угловым коэффициентом. Пример 1. Напишите уравнение медианы АМ треугольника АВС, если заданы координаты его вершин А(-5; 4), В(3; 1), С(2; -5). Решение. Точка М − середина отрезка ВС, поэтому в соответствии с формулами (2.5) Пример 2. Напишите уравнение прямой Решение. Первый способ. Согласно формуле (3.5), уравнение любой прямой, проходящей через точку М, может быть записано в виде Второй способ. Будем искать уравнение прямой в виде Замечание. Если дано общее уравнение прямой
Пример 3. Проверить, принадлежит ли точка М(2; -4) прямой Решение. Подставим координаты точки М в левую часть уравнения прямой Пример 4. На прямой Решение. Подставив в уравнение прямой значение Пример 5. Найти координаты вершин
Поскольку
Точка В − пересечение прямых АВ и ВС:
Точка
Ответ: координаты точек Пример 6. Найти уравнение прямой Решение. Перепишем уравнение Ответ: уравнение прямой Пример 6.1. Найти расстояние от точки М(1; 1) до прямой Решение. Расстоянием d от точки до прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из точки М на прямую. Поэтому сначала запишем уравнение прямой, проходящей через точку М перпендикулярно данной прямой. Эта часть задания нами уже выполнена в примере 6, поэтому воспользуемся готовым результатом и запишем, что нужная нам прямая Ответ: расстояние от точки М до прямой d=1. Замечание. Можно вывести формулу расстояния от точки
определяющую расстояние от точки до прямой. Вместо слов «расстояние от точки до прямой» иногда используют выражение «отклонение точки от прямой». Пример 7. Через точку Решение. Обозначим прямую
Решение. Для удобства рекомендуется нарисовать произвольный треугольник АВС (рис. 7). Пусть AD, BF и CK – высоты треугольника АВС, N – точка пересечения высот. В связи с этим AN и AD определяют одну и ту же прямую. Аналогично для пар BN и BF, а также CN и CK. Согласно формуле (3.1) уравнение прямой BN (или, что то же самое, прямой BF: Запишем уравнение стороны ВС как уравнение прямой, проходящей через точку В, перпендикулярно прямой AD. Поскольку AD определяется уравнением y=const, то перпендикулярная ей прямая ВС будет иметь уравнение x=const. А так как эта прямая проходит через точку В, то абсцисса точки В и определит уравнение ВС: х=6. Уравнение стороны АС запишем как уравнение прямой, проходящей через точку А перпендикулярно прямой BF, согласно формулам (4.4) и (3.5). Так как угловой коэффициент BF известен: Точка С теперь может быть найдена как пересечение прямых ВС Ответ: С(6; -6).
|