Понятие частотных характеристик

Если подать на вход системы с передаточной функцией W(p) гармонический сигнал

то после завершения переходного процесса на выходе установится гармонические колебания

с той же частотой , но иными амплитудой и фазой, зависящими от частоты возмущающего воздействия. По ним можно судить о динамических свойствах системы. Зависимости, связывающие амплитуду и фазу выходного сигнала с частотой входного сигнала, называются частотными характеристиками (ЧХ). Анализ ЧХ системы с целью исследования ее динамических свойств называется частотным анализом.

Подставим выражения для u(t) и y(t) в уравнение динамики

(aоpⁿ + a₁pn - 1 + a₂p^{n - 2} +... + a_n)y = (bоp^m + b₁p^m-1 +... + b_m)u.

Учтем, что

а значит

pnu = pnU_mejwt = U_m (jw)nejwt = (jw)nu.

Аналогичные соотношения можно записать и для левой части уравнения. Получим:

По аналогии с передаточной функцией можно записать:

.

W(j ), равная отношению выходного сигнала к входному при изменении входного сигнала по гармоническому закону, называется частотной передаточной функцией. Легко заметить, что она может быть получена путем простой замены p на j в выражении W(p).

W(j ) есть комплексная функция, поэтому:

где P() - вещественная ЧХ (ВЧХ); Q() - мнимая ЧХ (МЧХ); А() - амплитудная ЧХ (АЧХ): () - фазовая ЧХ (ФЧХ). АЧХ дает отношение амплитуд выходного и входного сигналов, ФЧХ - сдвиг по фазе выходной величины относительно входной:

;

Если W(j ) изобразить вектором на комплексной плоскости, то при изменении от 0 до + его конец будет вычерчивать кривую, называемую годографом вектора W(j ), или амплитудно - фазовую частотную характеристику (АФЧХ) (рис.48).

Ветвь АФЧХ при изменении от - до 0 можно получить зеркальным отображением данной кривой относительно вещественной оси.

В ТАУ широко используются логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ) (рис.49): логарифмическая амплитудная ЧХ (ЛАЧХ) L() и логарифмическая фазовая ЧХ (ЛФЧХ) (). Они получаются путем логарифмирования передаточной функции:

ЛАЧХ получают из первого слагаемого, которое из соображений масштабирования умножается на 20, и используют не натуральный логарифм, а десятичный, то есть L() = 20lgA(). Величина L() откладывается по оси ординат в децибелах. Изменение уровня сигнала на 10 дб соответствует изменению его мощности в 10 раз. Так как мощность гармонического сигнала Р пропорциональна квадрату его амплитуды А, то изменению сигнала в 10 раз соответствует изменение его уровня на 20дб, так как

lg(P₂/P₁) = lg(A₂²/A₁²) = 20lg(A₂/A₁).

По оси абсцисс откладывается частота w в логарифмическом масштабе. То есть единичным промежуткам по оси абсцисс соответствует изменение w в 10 раз. Такой интервал называется декадой. Так как lg(0) = - , то ось ординат проводят произвольно.

ЛФЧХ, получаемая из второго слагаемого, отличается от ФЧХ только масштабом по оси . Величина () откладывается по оси ординат в градусах или радианах. Для элементарных звеньев она не выходит за пределы: - + .

ЧХ являются исчерпывающими характеристиками системы. Зная ЧХ системы можно восстановить ее передаточную функцию и определить параметры.