к занятию 3, модуль 2

Домашнее задание по линейной алгебре

Специализация «Мировая экономика»

1. В евклидовом пространстве задан вектор . Найдите длину этого вектора.

2. В некотором ортонормированном базисе заданы векторы и Найдите их скалярное произведение.

3. Найдите косинус угла между векторами и

4. Орногональны ли векторы и в евклидово пространстве со стандартным скалярным произведением?

5. В евклидовом пространстве задана линейно независимая система векторов , , . Постройте ортонормированную систему.

6. Постройте ортонормированный базис в линейной оболочке векторов , , .

7. Постройте ортонормированный базис в линейной оболочке векторов в евклидовом пространстве :

а) , , ;

б) , , , .

8. В евклидовом пространстве задано подпространство Н как линейная оболочка векторов , Найдите базис орногонального дополнения .

9. Проверьте ортогональность системы векторов , в евклидовом пространстве . Найдите их ортогональное дополнение и дополните их до ортогональных базисов. Постройте ортонормированный базис.

10. В евклидовом пространстве задано подпространство Н как линейная оболочка векторов , Найдите базис орногонального дополнения линейнй оболочки векторов.

11. Найдите ортогональную проекцию и ортогональную составляющую вектора на линейное подпространство Н евклидова пространства , наятянутого на векторы ,

12. В евклидовом пространстве задано подпространство Н как линейная оболочка векторов , Найдите базис орногонального дополнения . Для вектора найдите его ортогональную проекцию на подпространство Н и ортогональную составляющую относительно Н.

13. Найдите ортонормированный базис из собственных векторов линейного оператора, заданного в ортонормированном базисе матрицей . Запишите матрицу этого оператора в найденном базисе.

14. В некотором ортонормировакнном базисе линейный оператор А задан матрицей Найдите ортонормированный базис из собственных векторов оператора А и его матрицу в том же базисе.

15. Базис является ортонормированным. Составьте матрицу Грама в базисе , .

16. В евклидовом пространстве даны векторы , , . Найдите матрицу Грама этой системы векторов и с ее помощью докажите, что векторы образуют базис в . Вычислите скалярное произведение векторов , двумя способами: через их координаты в стандартном базисе и в базисе с помощью матрицы Грама.

17. Матрица Грама в базисе имеет вид . Найдите длины базисных векторов и угол между ними. Найдите длины векторов , , а также угол между ними.

18. Матрица Грама в базисе имеет вид . Найдите длины векторов , и угол между ними. Найдите площадь треугольника, построенного на векторах и объем пирамиды с треугольным основанием, построенной на векторах .