Определители n-го порядка.

То, как и какими средствами была решена задача определения знака члена определителя, должно вызывать изумление и восторг у всех, кто знакомится с этим решением! Восторг наблюдать и понимать одухотворенность интеллекта homo sapiens!

Соответствие знака члена определителя и чётности соответствующей ему подстановки распространяем на определители - го порядка!

Итак, в результате обобщений всех знаний из теории определителей 2-го и 3-го порядков получено стройное и строгое определение определителя - го порядка:

1⁰: квадратная матрица: A = → определитель: =| A |= d.

2⁰: записываем сумму n! членов определителя со знаками, определяемыми подстановками: важно не пропустить ни одного члена определителя!..

Сочувствие: если вы хотите посчитать определитель 9-го порядка (всего-то!), вам нужно записать, строка за строкой, 9! = 362880 членов определителя, каждый из которых составлен из девяти сомножителей.

☺ ☺

Пример 3 – 05: Выяснить, входит или нет в определитель данное произведение: . Если указанное произведение входит в определитель, то с каким знаком?

Решение:

1) Для наглядности составим подстановку: . Видим, что в качестве множителей в произведении участвуют элементы определителя, взятые по одному из всех строк и столбцов. Вывод: заданное произведение входит в определитель.

2) Так как = , то декремент: – нечетное число → подстановка нечетная → знак минус.

Ответ: входит со знаком минус.

☻

Для решения проблемы вычисления определителя -го порядка необходимо установить свойства определителя -го порядка, подобные тем, что мы получили для определителей 2-го и 3-го порядков. Основная цель: определить правила сведения вычисления определителя -го порядка к вычислению определителя –го порядка!

Свойство 1. Величина определителя не изменится, если строки и столбцы этого определителя поменять ролями, для матрицы это преобразование называется транспонированием:

= → = . (4)

► Выделим в исходном определителе некоторый член этого определителя:

. (5)

Для определения знака выделенного члена определителя составим подстановку n -го порядка:

, (6)

в ней верхняя перестановка отражает номера строк определителя, в которых размещены эле­менты матрицы, входящие в выражение (5); а нижняя – номера столбцов.

После транспонирования матрицы A те же элементы будут участвовать в выражении члена определителя матрицы :

, (7)

причем для определения знака, который будет иметь этот член в определителе должна использоваться подстановка:

. (8)

Очевидно, четности подстановок (6) и (8) совпадают (используем определение четности подста­новки).

Нами доказано одно из важнейших свойств определителя n -го порядка (теперь уже для всех n = 2, 3, …): Определитель не меняется при транспонировании матрицы: . Это свойство устанавливает равноправие строк и столбцов определителя. ◄

Свойство 2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю:

= =0. (9)

► Пусть в определителе строка с номером k вся состоит из 0. Это значит, что общий член определителя обязательно (не пропускается ни одна строка) будет содержать 0:

=0,

а это значит, что все члены определителя равны 0. ◄

Свойство 3. Если в определителе переставлены две строки (столбца), то все члены полученного определителя те же, что и в исходном определителе, но с обратным знаком, т.е. перестановка двух строк определителя меняет его знак.

► Следует из представленной ниже схемы преобразования определителя и соответствующих подстановок.

●

●

●

●

i

●

☺

●

●

●

●

●

●

●

☻

●

●

i

●

●

●

●

j

●

●

●

☻

●

●

●

☺

●

●

●

●

j

●

●

●

●

●

●

●

●

, .

видим: четности соответствующих подстановок поменялись! ◄

Свойство 4. Определитель, имеющий две одинаковые строки, равен нулю.

► При перестановке этих строк из свойства 3 следует, что d = –d, т.е. d = 0. ◄

Свойство 5. Если все элементы строки - определителя умножить на произвольное число k, то определитель умножается на число k.

► Следует из записи общего члена определителя: каждый член определителя содержит ровно один элемент из строки - , поэтому всякий из них приобретает множитель k, то есть сам определитель умножается на k. ◄

Свойство 6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.

► Следует из свойств 5 и 4. ◄

Свойство 7. Если все элементы строки - определителя имеют вид: , где j = 1, 2, …, n, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кроме строки - , такие же, как в заданном определителе, а строки - в одном из определи­телей состоит из элементов , а в другом – из элементов .

► Следует из определения общего члена определителя: выражение (6):

= + .

Свойство важное при доказательствах дальнейших свойств! ◄

Свойство 8. Если одна из строк определителя есть линейная комбинация других его строк, то оп­ределитель равен нулю.

► Следует из последовательного применения свойств 7, 6, 5, 4). ◄

Свойство 9. Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк прибавляются соот­ветствующие элементы другой, умноженной на одно и то же число.

► Следует из свойств 7 и 6. Обобщение: определитель не меняется, если к одной из его строк прибавляется линейная комбинация других его строк. ◄

Рассмотренные (и доказанные!) свойства определителя n -го порядка подготовили сред­ства, необходимые для решения проблемы размерности: не выписывать его n! членов и не определять их знаки.

☻ Если не ставить требование наработки разнообразных навыков рационального вычисления определителей, то, используя определение и свойства определителей, своевременно задать вопрос: введённое понятие определителя обеспечивает решение системы линейных уравнений для произвольного числа неизвестных ?

Итак, перейдём от формальной конструкции определителя -го порядка и его формальных свойств к конкретным приложениям. Пусть имеем систему линейных уравнений с неизвестными _, :

где коэффициенты , ; ; при неизвестных _; свободные члены _, , хотя бы одно из которых не равно нулю, считаются заданными.

Системе уравнений соответствуют: матрица системы A (составлена из коэффициентов при неизвестных) и расширенная матрица (составлена из всех ее коэффициентов, включая свободные члены): , .

Используя свойства определителей -го порядка, преобразуем систему уравнений так, чтобы было выделено уравнение, в которое входит только одна неизвестная переменная . Для этого умножим 1-е уравнение на алгебраическое дополнение , 2-е на , …, -е на . Учитывая разложение определителя по столбцу- , получаем:

= → ,

где: d = , = .

Если , то получаем формулы Крамера: – решение заданной системы уравнений.

Замечания: 1) показано решение системы уравнений только для частного случая системы: число уравнений равно числу неизвестных и хотя бы одно _, не равно нулю;

2) для нас важным было показать, что определение определителя обеспечивает решение системы линейных уравнений, и мы в этом убедились;

3) для анализа и решения произвольных систем линейных уравнений потребуется ещё много дополнительных сведений, которые размещены в следующих главах.

Так как использование определителей не ограничивается их применением для решения систем линейных уравнений, то изучение дополнительных способов их эффективного вычисления целесообразно для дальнейших применений: при изучении линейных векторных пространств, алгебры матриц, линейных операторов, квадратичных форм и других.

При рассмотрении определителей 2-го и 3-го порядков введено понятие миноров 1-го порядка. Определитель -го порядка позволяет выделять миноры большего порядка: реализация принципа обобщений. Посмотрим, насколько это окажется продуктивным!

Пусть имеем определитель n -го порядка. Для целого числа выбираем в определителе k строк и k столбцов и зачёркиваем их. Элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов, образуют матрицу порядка k. Определитель этой матрицы называется минором M k-го порядка определителя d. Элементы, оставшиеся не зачёркнутыми, располагаются в не зачёркнутых (n - k) строках и (n - k) столбцах, образуют минор M′ (n-k) -го порядка, который называют дополнительным минором для минора M. Наоборот, можно вычеркнуть (n-k) строк и (n - k) столбцов – останется минор k -го порядка. Ниже приведена схема выделения минора k -го порядка вычеркиванием k строк и k столбцов:

В частном случае можно вычеркнуть минор 1-го порядка: элемент , тогда минор будет иметь (n -1) порядок.

Пусть вычеркнуты строки и столбцы, т.е. выделен минор М k -гопо­рядка. Алгебраическим дополнением минора М называется:

,

где - дополнительный минор для минора М, а - сумма, определяемая выражением:

,

Для определения процесса вычисления определителя n -го порядка нам потребуются при­водимые ниже теоремы.

Теорема: (3.4)

Произведение любого минора М k-го порядка на его алгебраическое дополнение в определителе d есть сумма некоторых членов определителя с теми же зна­ками, с какими они входят в состав определителя.

► Случай-1. Минор М расположен в левом верхнем углу → минор M′ – в правом нижнем.

В этом случае: S _M = 1+2+ … + k +1+2+ … + k =2(1+2+ … + k) – четное число и А _M = M′. Выберем произвольный член минора М: , его знак определяется подстановкой:

.

Пусть в этой подстановке l есть число инверсий. Тогда знак выделенного члена в миноре М бу­дет определяться выражением: .

Выберем произвольный член минора M′: , его знак определяется подстановкой:

.

Пусть в этой подстановке l′ есть число инверсий. Тогда знак выделенного члена в миноре M′ бу­дет определяться выражением: .

Перемножая выделенные члены определителей М и M ′, получим некоторый член исходного определителя: ,

его знак определяется подстановкой:

,

и равен: : так как ни один символ не имеет инверсий с символами , и наоборот! За­метим: произведение миноров (определителей) М · M ′ определяет k! ·(n-k)! членов определи­теля d.

Случай-2. Пусть теперь минор М располагается произвольно: в строках и столбцах . Для того, чтобы минор разместился в первых k строках и столбцах, не­обходимо совершить транспозиций:

N= ( -1) + ( -2) + … + ( -k) + ( -1) + ( -2) + … + ( -k) =

= + +…+ + + +…+ – 2(1+2+…+k) = S _M.

Транспозиции меняют только знаки членов определителя, не меняя их величины. От за­писи с произвольным расположением минора М к специальной записи, рассмотренной в слу­чае-1, мы перешли при помощи S _M транспозиций. Это значит, что при произвольном располо­жении миноров М и M ′ мы получим из произведения: М · А _M = М · M′ набор членов определителя в количестве: [k! ·(n-k)! ].

Доказанная теорема является ключевой при решении проблемы практического вычис­ления определителя произвольного порядка. ◄

Пусть минор М = | |. Тогда k=1, и произведение опреде­ляет члены определителя в количестве: (n-1)! Если для строки i записать сумму:

, (17)

то мы получаем известное (для определителя 3-го порядка) разложение определителя по строке: все слагаемые в сумме (17) различны, все они представляют наборы некоторого коли­чества членов определителя, а так как всего их n·(n-1)! = n!, то это значит, что все члены опре­делителя просуммированы.

Аналогично получается разложение определителя по столбцу j:

. (18)

Вывод: вычисление определителя n-го порядка можем заменить вычислением n определителей порядка (n-1). Если же использовать установленные ранее свойства определителей, можно пе­ред его разложением получить в строке все нули, кроме одного (если нули все, то d =0). Это значит, что порядок вычисляемого определителя последовательно понижается на 1, и мы мо­жем свести проблему размерности при вычислении определителя n-го порядка до уровня вы­числения определителя 2-го порядка: проблемы нет!

Учитывая результаты исследований, представленных в теореме 3.4, можно получить дальнейшее обобщение свойства разложения определителя по строке: разложение определителя по k строкам – теорема Лапласа.

Теорема: (3.5)

Пусть в определителе порядка nпроизвольно выбрали k строк: . Сумма произведений всех миноров k-го по­рядка, содержащихся в выбранных строках, на их алгебраические дополненияравна определителю d.

► В Теореме 3.4 было показано, что произведение М · А _M = М · M ′ составляет набор членов опре­делителя в количестве: [ k! ·(n - k)! ]. В выделенных k строках содержится n столбцов. Количество различных выборок из n элементов по k элементов равно числу сочетаний из n по k:

.

Это значит, что полным набором различных выборок миноров k -го по­рядка в k выделенных строках мы получим число различных членов определителя: · k! ·(n - k)! = n! Но тогда сумма произведений всех миноров k-го по­рядка, содержащихся в выбранных строках, на их алгебраические дополнения равна определителю d. ◄

Следствие: 1)Ели в выделенных k троках только один определитель порядка k не равен нулю, то трудоемкость вычисления определителя n-го порядка сразу уменьшается: по­требуется вычислить только один определитель k-го порядка, и один (n-k)-го по­рядка (!).

2) Полезно учитывать, что выбор миноров обратим: если выделили минор М, то минор M ′ – дополнительный; если первоначально выделен минор M ′, то дополнительным будет М.

☺ ☺

Пример 3 – 06: Вычислить определитель: разложением по строке (столбцу).

Решение:

Применяя операции со строками и столбцами, добьёмся максимальной простоты чисел-элементов определителя:

d = (1) = = (2) =10· = (3) =10· =100.

Операции: (1): [C1]–[C5]; [R2]–[R1]; [R3]–[R1]; [R4]–[R1]·2; [R5]–[R1]·2. (2): применяем разложение определителя по столбцу-1, вынося множитель 2 из получающегося определителя 4-го порядка. (3): [R3]+[R1]; [R4]–[R1]. (4): получен определитель треугольного вида → завершаем вычисление.

Ответ: d =100.

Пример 3 – 07: Вычислить определитель: разложением по строке (столбцу).

Решение:

Применяя операции со строками и столбцами, добьёмся максимальной простоты чисел-элементов определителя:

d = (1) = · = (2) = · = (3) = · =1.

Операции: (1): выносим за знак определителя общие множители из строк: 1, 2, 3. (2): выносим за знак определителя общие множители: из строки-1 число 3, из столбцов: 2, 3, 4 число (-1); далее выполняем: [C2]–[C1]·3; [C3]–[C1]; [C4]–[C1]·2. (3): выносим за знак определителя общие множители: из столбца-4 число (-3), из столбцов: 2, 3 число (-1). (4): [R3]–[R2]·2; [R2]–[R1]→ завершаем вычисление.

Ответ: d =1.

Пример 3 – 08: Вычислить определитель: разложением по строке (столбцу).

Решение:

Применяя операции со строками и столбцами, добьёмся максимальной простоты чисел-элементов определителя:

d = (1) = · = (2) = – · =

= (3) = · = (4) = .

Операции: (1): выносим за знак определителя общие множители из столбцов: 1, 2, 3, 4; выполняем: [C1]–[C3]. (2): выполняем разложение по столбцу-1. (3): [C1]–[C2]·2. (4): выполняем разложение по столбцу-1 и завершаем вычисление.

Ответ: d = .

Пример 3 – 09: Вычислить определитель: .

Решение:

Применяя операции со строками и столбцами, добьёмся максимальной простоты чисел-элементов определителя:

d = (1) = = (2) = .

Операции: (1): вычитаем строку-1 из всех остальных строк. (2): получен определитель треугольного вида: завершаем вычисление.

Ответ: d = , или d = .

Пример 3 – 10: Вычислить определитель: d = .

Решение:

1) Применяя свойство суммы определителей, запишем:

d = + = d ₁+ d ₂.

2) Вычислим определитель d ₁, выполняя операции приведения к треугольному виду:

d ₁ = = .

3) Вычислим определитель d ₂, выполняя операции: разложения по столбцу-1, затем применяя свойство суммы определителей:

d ₂ = x · = x · + x · = d ₂₁+ d ₂₂.

4) Вычислим определитель d ₂₁, выполняя операции приведения к треугольному виду:

d ₂₁ = x · = .

5) Вычислим определитель d ₂₂, выполняя операции: разложения по столбцу-1 и окончательного вычисления: d ₂₂ = x · =

6) Окончательно получаем: d = .

Ответ: d = .

Пример 3 – 11: Вычислить определитель: d = .

Решение:

Вычислим определитель d, выполняя операции приведения к треугольному виду:

d = =

Ответ: d =

Пример 3 – 12: Как изменится определитель порядка n, если:

а) к каждой строке, кроме последней, прибавить последнюю строку?

б) из каждой строки, кроме последней, вычесть все последующие строки?

в) из каждой строки, кроме последней, вычесть последующую строку, из последней строки вычесть прежнюю первую строку?

Решение:

Обозначим строки: a₁ a₂ a₃ a₄ a₅a₆. Рассмотрение этого набора строк вполне иллюстрирует предлагаемые преобразования.

а) преобразование: a₁ + a₆; a₂ + a₆; a₃ + a₆; a₄ + a₆; a₅ + a₆; a₆ по свойствам определителя предложенное преобразование не меняет определитель (число!);

б) к каждой строке применяется несколько раз преобразование, аналогичное рассмотренному в п.а); по свойствам определителя предложенное преобразование не меняет определитель (число!) – см. схему (символ «└» отмечает вычитание из указанного элемента выделенной строки элементов расположенных ниже строк):

в) из представленной схемы преобразований видим, что шали 1÷ 4 не меняли определитель (см. свойства определителя):

последний шаг сделал множество строк линейно зависимым: видим, что сумма всех строк преобразованного определителя равна нулю; в этом случае определитель равен нулю!

Ответ: см. текст.

Пример 3 – 13: Вычислить определитель: = , используя подходящее разложение по строке или столбцу.

Решение:

Замечания: минусы в 3-м и 4-м столбцах убираем: равносильно умножению на 1 = (–1)·(–1).

Используя теорему Лапласа о разложении определителя по k строкам (столбцам), запишем разложение определителя по двум строкам:

= · · = · = .

Ответ: .

Пример 3 – 14: Вычислить определитель: ∆ = , используя подходящее разложение по строке или столбцу.

Решение:

1) Применяя свойства определителя (сложение строк и столбцов, вынесение общего множителя за знак определителя, разложение по строке и по столбцу), запишем:

∆ = (1) = · = (2) = · = · .

Операции: (1): [C1] +[C2] +[C3] +[C4]; вынесем общий множитель 1-го столбца . (2): [R2]–[R1]; [R3]–[R1]; [R4]–[R1] и применяем разложение определителя по столбцу-1.

2) Вычислим определитель :

= (1) = · = (2) = · = · .

Операции: (1): [C1] +[C2]; вынесем общий множитель 1-го столбца . (2): [R2]–[R1] и применяем разложение определителя по столбцу-1 и вычисляем.

3) Объединяя все результаты, получаем: .

Ответ: .

Пример 3 – 15: Вычислить определитель: d= приведением его к треугольному виду.

Решение:

1) Применяя свойства определителя, запишем:

d= (1) = = (2) = = N =3+2(n–1)= 2n+1.

Операции: (1): [R1]– ; [R2]– ; …; – . (2): –([R1]–[R2]–... )·2; (2): получен определитель треугольного вида → вычисляем окончательно.

Ответ: .

Пример 3 – 16: Вычислить определитель, элементы которого заданы условиями: .

Решение:

1) Из условия задачи запишем определитель: d= = (1) = =1.

Операции: (1): – ; – ; …; [R2]–[R1], что приводитк определителю треугольного вида, который легко вычисляем.

Ответ: .

☻

§ 3. Обобщающие примеры по теме: «Определители n -го порядка»

Набор обобщающих Примеров соответствует требованиям «Семестрового плана» при изучении темы: «Определители n -го порядков». Эти Примеры предназначены закрепить навыки применения общих алгоритмов решений, установленных в поясняющих Примерах.

☺ ☻ ☺

Пример 1–151: Определить четность подстановки: двумя способами: 1): подсчетом числа инверсий элементов ее нижней строки; 2) разложением подстановки в циклы и вычислением числа декремент.

Решение:

Способ 1. Определим четность подстановки подсчетом числа инверсий элементов ее нижней строки. Для подсчета числа инверсий воспользуемся таблицей, в которой указаны инверсии (символ: ♦) выделяемых элементов (символ: ☻) с последующими элементами (учет нарушений порядка):

откуда следует: подстановка нечетная.

Способ 2. Воспользуемся определением декремента: d = n – s, где n – число элементов в подстановке, s = (число независимых циклов) + (число символов, оставшихся на месте). Четность декремента совпадает с четностью подстановки! Вычислим декремент:

а) разложим подстановку в произведение циклов: =(142)(35);

б) вычислим декремент: d = 5–2 = 3, откуда следует: подстановка нечетная.

Ответ: подстановка четная.

Пример 2–153: Определить четность подстановки: p = разложением подстановки в циклы и вычислением числа декремент.

Решение:

1) Разложим подстановку в произведение циклов: p =(182)(3)(467)(5).

2) Вычислим декремент: d = 8–4 =4, откуда следует: подстановка четная.

Ответ: p =(182)(3)(467)(5); подстановка четная.

Пример 3–165: Имеется запись подстановки в циклах: p = (7531)(246)(8)(9), найти запись этой подстановки в выражении с двумя перестановками.

Решение:

Используя правила построения циклов подстановки:

1) Запишем верхнюю строку подстановки: (1 2 3 4 5 6 7 8 9).

2) Отразим в нижней строке подстановки каждый из циклов:

▫ цикл: (7531) → (7 → 5 → 3 → 1 → 7) → (7 ● 1 ● 3 ● 5 ● ●);

▫ цикл: (246) → (2 → 4 → 6 → 2) → (7 4 1 6 3 2 5 ● ●);

▫ цикл: (8) → (8 → 8) → (7 4 1 6 3 2 5 8 ●);

▫ цикл: (9) → (9 → 9) → (7 4 1 6 3 2 5 8 9).

3) Подстановка принимает вид: .

Ответ: .

Пример 4–189: Входит ли произведение: в определитель? Если входит, то с каким знаком?

Решение:

1) Составим для заданного члена определителя подстановку: .

2) Разложим подстановку в произведение циклов: p =(1236)(45).

3) Вычислим декремент: d = 6–2 = 4 – чётное число → подстановка четная → произведение входит в определитель со знаком .

Ответ: входит со знаком .

Пример 5–191: Входит ли произведение: в определитель? Если входит, то с каким знаком?

Решение:

1) Составим для заданного члена определителя подстановку: .

2) Разложим подстановку в произведение циклов: p =(16)(27)(3)(4)(5).

3) Вычислим декремент: d = 7–5 = 2 – чётное число → подстановка четная → произведение входит в определитель со знаком .

Ответ: входит со знаком .

Пример 6–199: Найти члены определителя 4-го порядка, содержащие элемент и входящие в определитель со знаком плюс.

Решение:

1) Запишем все члены определителя, содержащие заданный элемент: · · ,

или: ·(–1)·( + + – – – ).

2) Со знаком в определитель входят: , , .

Ответ: , , .

Пример 7–200: Найти члены определителя, содержащие x ⁴ и x ³: .

Решение:

1) Найти член определителя, содержащий x ⁴, достаточно просто: должны участвовать элементы главной диагонали → имеем член: 10 x ⁴.

2) Ответить на поставленный вопрос: выделение членов с x ⁴ и x ³ можно, воспользовавшись разложением определителя по 1-му столбцу:

d = 5 x + x +1 +x =

= 10 x ⁴+ … – x (1· x ·2 x)+ … – x (3· x · x) + … = 10 x ⁴ – 5 x ³ + …

Замечание: в разложении многоточия отражают члены разложения, имеющие величину в степенях, меньших 4-й и 3-й.

Ответ: 10 x ⁴; – 5 x ³.

Пример 8–201: С каким знаком входит в определитель порядка n произведение элементов главной диагонали?

Решение:

1) Произведение элементов главной диагонали: .

2) Выделенным элементам соответствует подстановка: p = – чётная подстановка, так как число инверсий в этой подстановке равно 0 → произведение входит в определитель со знаком .

Ответ: входит со знаком .

Пример 9–203: Вычислить: d = , пользуясь только его определением.

Замечание: имеется в виду: записываем сумму членов определителя со знаками, определяемыми подстановками (не используя разложения по строке!).

Решение:

1) Член определителя формируется из его элементов по правилу: берём по одному из каждой строки и каждого столбца.

2) Так как из первой строки в каждый член определителя входит один элемент обязательно, то ненулевой член получаем только от участия элемента . Как только элемент включён в член определителя, столбец-1 более не может использоваться! Теперь для получения ненулевого члена определителя из строки-2 подойдёт только элемент , и исключается дальнейшее участие столбца-2...

3) Продолжая формирование членов определителя, дойдём до последнего элемента, расположенного на главной диагонали : получаем единственный член определителя, не равный нулю: , его знак определяется подстановкой: p = – чётная подстановка, так как