Сложение сходящихся в точке сил

Сложить две сходящиеся силы можно методом параллелограмма или треугольника.

Параллелограмм сил. Равнодействующая двух сил и (рис. 4.1, а), приложенных в одной точке и направленных под углом друг к другу, равна геометрической сумме этих сил и изображается диагональю параллелограмма:

. (4.1)

Модуль равнодействующей силы определяется по теореме косинусов:

. (4.2)

Направление равнодействующей определяется углами между составляющими и равнодействующей, которые можно найти по теореме синусов:

(4.3)

Рис. 4.1. Сложение двух сходящихся сил

Отметим, что при определении равнодействующей по двум составляющим из выражения (4.2) углы отсчитываются всегда между векторами, выходящими из одной точки. Определять равнодействующую можно также графически, выполняя построения в масштабе µ_Р. В частных случаях, если силы и направлены по одной прямой в одну сторону, то

. (4.4)

Если силы и направлены по одной прямой в противоположные стороны, то

. (4.5)

Если силы и взаимно перпендикулярны, то

. (4.6)

Треугольник сил. Силы и , как и любые два вектора, можно сложить также по правилу треугольника (рис. 4.1, б). Выбрав любую точку на плоскости рисунка, из неё проводят, сохраняя масштаб, вектор, равный и параллельный одной из заданных сил, например . Из конца вектора проводят вектор .

При построении треугольника сил необходимо придерживаться правила: стрелки составляющих векторов направлены в одну сторону, а равнодействующей – им навстречу.

Определение равнодействующей двух сил по правилу параллелограмма или треугольника называется векторным (или геометрическим) сложением.

Многоугольник сил. Равнодействующую нескольких сил, сходящихся в одной точке, можно определить геометрически – последовательным сложением. Равнодействующая такой системы сил равна геометрической сумме этих сил:

(4.7)

и выражается по модулю и направлению вектором, замыкающим ломаную линию, стороны которой параллельны и равны данным силам в выбранном масштабе. На рис. 4.2 показано сложение четырех сил. Многоугольник АВСDЕ называют силовым. Следует помнить, что при обходе контура многоугольника сил составляющие , , … направлены в одну сторону, а равнодействующая – в противоположную. При этом порядок сложения сил не имеет никакого значения. Но, чтобы не пропустить какую-либо составляющую, сложение сил рекомендуется производить в порядке их номеров.

Таким образом, сложение сил, сходящихся в точке, есть определение равнодействующей этих сил.

Рис. 4.2. Построение силового многоугольника

Следствие. Если система сил является уравновешенной, то равнодействующая системы равна нулю (R = 0). В этом случае силовой многоугольник замкнут, т.е. конец последнего вектора должен совпадать с началом первого.

Замкнутость силового многоугольника является геометрическим условием равновесия плоской системы сходящихся сил. Это условие используют при решении задач на равновесие.

Пример 1. Шар весом G = 20 Н (рис. 4.3, а) подвешен к вертикальной стене при помощи нити СВ. Определить натяжение нити и силу давления шара на стену, если угол между стеной и нитью α = 30 °.

Рис. 4.3. Определение сил натяжения нити и давления шара на стену

Решение:

1. Рассмотрим равновесие шара под действием трех сил: силы тяжести , реакции нити и реакции стены . Линии действия всех сил пересекаются в центре шара О.

2. Строим замкнутый силовой треугольник, начиная с известного вектора (рис. 4.3, б). Модули неизвестных сил и , равные соответственно давлению шара на стену и натяжению нити, определим из полученного треугольника:

откуда

Частным случаем системы сходящихся сил является теорема о трёх силах: если абсолютно твёрдое тело находится в равновесии под действием трёх непараллельных сил, лежащих в одной плоскости, то линии действия этих сил пересекаются в одной точке (cм. следствие аксиомы IV). Обратим внимание, что обратная теорема может не иметь места, т.е. если линии действия трёх сил пересекаются в одной точке, то тело под действием этих сил может и не находится в равновесии.

Для доказательства прямой теоремы можно предположить, что на тело действуют три силы (рис. 4.4), лежащие в одной плоскости и не параллельные.

Рис. 4.4

Найдём точку пересечения линий действия сил А. Определим равнодействующую сил , , перенося их в точку А. Если тело в равновесии, то и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны и равны по модулю. Теорема доказана. Эта теорема широко используется для определения направления заранее неизвестной реакции связи.

Пример 2. Брус АВ закреплён в точке А шарниром и опирается на выступ D (рис. 4.5). Вес бруса равен Р. Определить направление реакции шарнира А.

Решение. На брус действуют три силы: сила тяжести , реакция выступа и шарнира А. Линии действия сил и известны, они пересекаются в точке О. Линия действия реакции шарнира А пройдёт также через точку О. Таким образом, направление реакции шарнира А будет вдоль линии АО.

Рис 4.5