![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
систем методом пространства состояний ⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 5
Использование преобразование Лапласа создает определенные удобства при оперировании со звеньями, описываемыми уравнениями с постоянными коэффициентами. Применяя преобразование Лапласа к уравнениям состояния (1) при нулевых начальных условиях, найдем соответствующие им уравнения в изображениях Разрешив последнее выражение относительно вектора состояния и вектора выходных координат, получим искомые алгебраические соотношения: Обозначая запишем соотношения, устанавливающие зависимость между управляющим воздействием и векторами состояния и выходных координат соответственно:
Матрица Матрица Последние являются матричными функциями, размер матриц которых определен размерностью входных и выходных векторов. Если входное воздействие является векторным, то реакция системы зависит от всех составляющих входного вектора. Передаточная матрица по состоянию однозначно определяется уравнением состояния, однако для одной и той же передаточной матрицы могут отвечать несколько различных уравнений состояния. Размер передаточных матриц по состоянию и выходу определяется размерностью входных и выходных векторов. Пример 1. Определить матричную экспоненту и вынужденное движение системы. Дифференциальное уравнение системы имеет вид: Перейдём к системе дифференциальных уравнений первого порядка. Введём обозначения С учетом выражений введённых обозначений можно записать: Перейдём к векторно-матричной форме записи:
Определим матричную экспоненту путём разложения в степенной ряд.
Определим вектор состояния для заданной системы в соответствии с формулой
Пусть Определим матричный экспоненциал с помощью обратного преобразования Лапласа 1. 2. 3. Если на вход системы подаётся единичный мгновенный импульс, т.е.
Пример 2. Определить переходную матрицу системы по состоянию и по выходу. Пусть
Передаточная матрица по состоянию Передаточная матрица по выходу Пример 3. Определить переходную и весовую матрицы динамической системы с использованием теоремы Кэли–Гамильтона. Дифференциальное уравнение системы имеет вид: Выбирая в качестве переменных состояния координаты положения и скорости
Вычислим матричную экспоненту по теореме Кэли–Гамильтона в виде интерполяционного полинома для системы порядка Коэффициенты Корни характеристического уравнения найдем, раскрывая определитель
Искомые коэффициенты интерполяционного полинома
После выполнения вычислений целесообразно проверить, что при Выбирая в качестве начальных условий Весовая матрица в данном случае вырождается в скалярное выражение и соответствует импульсной переходной функции скалярной системы
Определим реакции системы по вектору состояния на ступенчатое воздействие
Интегрируя, найдем значение координат положения и скорости
Пример 4. Определить матрицу перехода с использованием
Вычисляя оригиналы элементов обратной матрицы, найдем матрицу перехода
что совпадает с результатом, полученным на основании теорем Кэли–Гамильтона и Сильвестра. Найдем реакцию системы на ступенчатое воздействие Изображение вектора состояния имеет вид: Переходя к оригиналам:
что совпадает с результатом, полученным выше интегрированием во временной области. Пример 5. Рассмотрим уравнение системы «вход–состояние» (См. лабораторная работа № 2): Найдем собственные значения матрицы
Матричный экспоненциал имеет вид Пусть Отсюда для компонент вектора состояния имеем
Пример 9. Определить передаточные функции системы с тремя состояниями, двумя воздействиями и двумя выходами, структурная схема которой показана на рис. 2 Рис. 2. Структурная схема системы Уравнения состояния для структурной схемы системы имеют вид
Векторы воздействий и выходных координат выбраны в виде
Для матриц
Передаточная функция системы с двумя входами и двумя выходами имеет вид:
II. Практическая часть Порядок выполнения работы: 1. Ознакомиться с теоретическим материалом. 2. Для заданной системы (по данным, полученным в лабораторной работе №2 для варианта лабораторной работы № 1): - определить передаточную матрицу по состоянию и по выходу. - Определить матрицы ИПФ по состоянию и по выходу. 3. Уменьшить порядок заданной системы на единицу. Определить для полученной системы второго порядка вектор состояния 4. В пакете MATLAB найти и освоить функции вычисления детерминанта, собственных значений, собственных векторов матрицы
|