Уравнения прямых и кривых на плоскости

Умение строить графики и анализировать уравнения кривых, каковыми являются прямые линии и кривые второго порядка– окружность, эллипс, гипербола, парабола является важным для всех специалистов. При решении большого класса задач требуется выделить на плоскости область, ограниченную какими-либо кривыми, уравнения которых заданы. Часто приходится искать наибольшее или наименьшее значения, принимаемые некоторой функцией в области, заданной уравнениями системы неравенств.

В аналитической геометрии линия на плоскости определяется как множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению . При этом на функцию должны быть наложены ограничения так, чтобы, с одной стороны, это уравнение имело бесконечное множество решений и, с другой стороны, чтобы это множество решений не заполняло “куска плоскости”. Важный класс линий составляют те, для которых функция есть многочлен от двух переменных, в этом случае линия, определяемая уравнением , называется алгебраической. Алгебраические линии, задаваемые уравнением первой степени, суть прямые. Уравнение второй степени, имеющее бесконечное множество решений, определяет эллипс, гиперболу, параболу или линию, распадающуюся на две прямые.

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат. Прямая на плоскости может быть задана одним из уравнений:

1. Общее уравнение прямой:

(2.1)

Вектор ортогонален прямой, числа A и B одновременно не равны нулю.

2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

(2.2)

где k - угловой коэффициент прямой, то есть , где ‑ величина угла, образованного прямой с осью Оx, ‑ некоторая точка, принадлежащая прямой.

Уравнение (2.2) принимает вид , если есть точка пересечения прямой с осью Оy.

3. Уравнение прямой в отрезках:

(2.3)

где a и b ‑ величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.

4. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки ‑ и :

(2.4)

5. Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору :

(2.5)

6. Нормальное уравнение прямой:

(2.6)

где ‑ радиус-вектор произвольной точки этой прямой, ‑ единичный вектор, ортогональный этой прямой и направленный от начала координат к прямой; ‑ расстояние от начала координат до прямой.

Нормальное уравнение прямой в координатной форме имеет вид:

,

где ‑ величина угла, образованного прямой с осью Оx.

Величина угла между прямыми и задается формулой:

.

Равенство есть необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых.

Для того, чтобы два уравнения

(2.7)

(2.8)

задавали одну и ту же прямую, необходимо и достаточно, чтобы их коэффициенты были пропорциональны:

Уравнения (2.7), (2.8) задают две различные параллельные прямые, если и ; прямые пересекаются, если .

Расстояние d от точки до прямой есть длина перпендикуляра, проведенного из точки к прямой. Если прямая задана нормальным уравнением, то , где ‑ радиус-вектор точки или, в координатной форме, .

Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид:

Предполагается, что среди коэффициентов уравнения есть отличные от нуля.

Уравнение окружности с центром в точке и радиусом, равным R:

(2.9)

Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых от двух данных точек F₁ и F₂ (фокусов) есть величина постоянная, равная 2a.

Каноническое (простейшее) уравнение эллипса:

(2.10)

Эллипс, заданный уравнением (2.10), симметричен относительно осей координат. Параметры a и b называются полуосями эллипса.

Пусть a> b, тогда фокусы F₁ и F₂ находятся на оси Оx на расстоянии
от начала координат. Отношение называется эксцентриситетом эллипса. Расстояния от точки эллипса до его фокусов (фокальные радиусы-векторы) определяются формулами:

, .

Если же a< b, то фокусы находятся на оси Оy, , ,

, .

Если a=b, то эллипс является окружностью с центром в начале координат радиуса a.

Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух данных точек F₁ и F₂ (фокусов) равна по абсолютной величине данному числу 2a.

Каноническое уравнение гиперболы:

(2.11)

Гипербола, заданная уравнением (2.11), симметрична относительно осей координат. Она пересекает ось Оx в точках и ‑ вершинах гиперболы и не пересекает ось Оy. Параметр a называется вещественной полуосью, b - мнимой полуосью. Параметр есть расстояние от фокуса до начала координат. Отношение называется эксцентриситетом гиперболы. Прямые, уравнения которых называются асимптотами гиперболы. Расстояния от точки гиперболы до ее фокусов (фокальные радиусы-векторы) определяются формулами:

, .

Гипербола, у которой a=b, называется равносторонней, ее уравнение , а уравнение асимптот . Гиперболы и называются сопряженными.

Параболой называется геометрическое место точек, одинаково удаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы).

Каноническое уравнение параболы имеет два вида:

1. ‑ парабола симметрична относительно оси Оx.

2. ‑ парабола симметрична относительно оси Оy.

В обоих случаях р> 0 и вершина параболы, то есть точка, лежащая на оси симметрии, находится в начале координат.

Парабола, уравнение которой имеет фокус и директрису , фокальный радиус-вектор точки на ней .

Парабола, уравнение которой имеет фокус и директрису ; фокальный радиус-вектор точки параболы равен .

Уравнение задает линию, разбивающую плоскость на две или несколько частей. В одних из этих частей выполняется неравенство , а в других – неравенство . Иными словами, линия отделяет часть плоскости, где , от части плоскости, где .

Прямая, уравнение которой , разбивает плоскость на две полуплоскости. На практике для выяснения того, в какой полуплоскости мы имеем , а в какой , применяют метод контрольных точек. Для этого берут контрольную точку (разумеется, не лежащую на прямой, уравнение которой ) и проверяют, какой знак имеет в этой точке выражение . Тот же знак имеет указанное выражение и во всей полуплоскости, где лежит контрольная точка. Во второй полуплоскости имеет противоположный знак.

Точно так же решаются и нелинейные неравенства с двумя неизвестными.

Например, решим неравенство . Его можно переписать в виде .

Уравнение задает окружность с центром в точке C(2, -3) и радиусом 5. Окружность разбивает плоскость на две части ‑ внутреннюю и внешнюю. Чтобы узнать, в какой из них имеет место данное неравенство, возьмем контрольную точку во внутренней области, например, центр C(2, -3) нашей окружности. Подставляя координаты точки C в левую часть неравенства, получаем отрицательное число -25. Значит, и во всех точках, лежащих внутри окружности, выполняется неравенство . Отсюда следует, что данное неравенство имеет место во внешней для окружности области.

Пример 1.5. Составьте уравнения прямых, проходящих через точку A(3, 1) и наклоненных к прямой под углом 45^o.

Решение. Будем искать уравнение прямой в виде . Поскольку прямая проходит через точку A, то ее координаты удовлетворяют уравнению прямой, т.е. , Þ . Величина угла между прямыми и определяется формулой . Так как угловой коэффициент k₁ исходной прямой равен , а угол , то имеем уравнение для определения k:

или .

Имеем два значения k: , . Находя соответствующие значения b по формуле , получим две искомые прямые, уравнения которых: и .

Пример 1.6. При каком значении параметра прямые, уравнения которых и параллельны?

Решение. Прямые, заданные общими уравнениями, параллельны, если коэффициенты при x и y пропорциональны, т.е. . Решая полученное уравнение, находим :

, .

Пример 1.7. Найти уравнение общей хорды двух окружностей: и .

Решение. Найдем точки пересечения окружностей, для этого решим систему уравнений:

Решая первое уравнение, находим значения : , . Из второго уравнения ‑ соответствующие значения : , . Теперь получим уравнение общей хорды, зная две точки А(3, 1) и B(1, 3), принадлежащие этой прямой: , или .

Пример 1.8. Как расположены на плоскости точки, координаты которых удовлетворяют условиям , ?

Решение. Первое неравенство системы определяет внутренность круга, не включая границу, т.е. окружность с центром в точке (3, 3) и радиуса . Второе неравенство задает полуплоскость, определяемую прямой, уравнение которой , причем, так как неравенство строгое, точки самой прямой не принадлежат полуплоскости, а все точки ниже этой прямой принадлежат полуплоскости. Поскольку мы ищем точки, удовлетворяющие обоим неравенствам, то искомая область ‑ внутренность полукруга.

Пример 1.9. Вычислить длину стороны квадрата, вписанного в эллипс, уравнение которого .

Решение. Пусть ‑ вершина квадрата, лежащая в первой четверти. Тогда сторона квадрата будет равна . Т.к. точка М принадлежит эллипсу, ее координаты удовлетворяют уравнению эллипса , откуда ; значит, сторона квадрата ‑ .

Пример 1.10. Зная уравнение асимптот гиперболы и одну из ее точек , составить уравнение гиперболы.

Решение. Запишем каноническое уравнение гиперболы: . Асимптоты гиперболы задаются уравнениями , значит, , откуда a=2b. Поскольку М‑ точка гиперболы, то ее координаты удовлетворяют уравнению гиперболы, т.е. . Учитывая, что a=2b, найдем b: b²=9 Þ b=3 и a=6. Тогда уравнение гиперболы ‑ .

Пример 1.11. Вычислить длину стороны правильного треугольника ABC, вписанного в параболу с параметром р, предполагая, что точка А совпадает с вершиной параболы.

Решение. Каноническое уравнение параболы с параметром римеет вид , вершина ее совпадает с началом координат, и парабола симметрична относительно оси абсцисс. Так как прямая AB образует с осью Ox угол в 30^o, то уравнение прямой имеет вид: .

Следовательно, мы можем найти координаты точки B, решая систему уравнений

,

откуда , . Значит, расстояние между точками A(0, 0) и равно .