Задание 2. Парная линейная регрессия. Пример 2.1. По 6 предприятиям концерна изучается зависимость прибыли (тыс

Пример 2.1. По 6 предприятиям концерна изучается зависимость прибыли (тыс. ден. ед.) Y от выработки на одного человека (единиц) X по следующим данным (табл. 2.1):

Таблица 2.1

По данным таблицы:

1) построить корреляционное поле;

2) получить уравнение парной линейной регрессии Y = a + bX;

3) построить график функции регрессии;

4) вычислить коэффициент линейной корреляции и коэффициент детерминации, определить степень тесноты связи переменных;

5) вычислить стандартную ошибку регрессии;

6) на уровне значимости 0, 05 выполнить оценку статистической значимости коэффициентов уравнения с помощью критерия Стьюдента;

7) на уровне значимости 0, 05 выполнить оценку статистической значимости уравнения с помощью критерия Фишера;

8) Определить прогнозное значение прибыли, принимая уровень выработки равным 110 единицам.

Решение

1. Корреляционное поле представляет собой точечный график на координатной плоскости. Каждая пара значений X, Y может быть изображена в виде точки с координатами X, Y.

2. Уравнение парной линейной регрессии имеет вид

.

Для расчета коэффициентов а и b добавим в табл. 7 три столбца и две строки (табл. 2.2)

Таблица 2.2

Номер предприятия	X	Y
Сумма
Среднее значение	86, 833	154, 333

Коэффициенты а и b уравнения линейной регрессии рассчитываются по формулам:

, ,

где N – количество пар исследуемых данных.

,

.

Получаем уравнение регрессии .

3. Округлив коэффициенты до целых, получим уравнение в виде .

График функции регрессии:

4. Вычисление коэффициента корреляции и коэффициента детерминации.

,

.

Коэффициент корреляции: ,

Характеристику взаимосвязи факторов можно определить с помощью коэффициента корреляции по следующей таблице (табл. 2.3):

Таблица 2.3

	взаимосвязь
0, 9 - 1	очень хорошая
0, 7 - 0, 9	хорошая
0, 5 - 0, 7	средняя
0, 3 - 0, 5	плохая (удовлетворительная)
0 - 0, 3	неудовлетворительная

Т.к. , то взаимосвязь между X и Y очень хорошая.

Коэффициент детерминации показывает, какая доля вариации признака Y связана с изменением значений Х. Доля прочих факторов, не учитываемых в регрессии, равна .

.

Это означает, что 73, 6 % вариации прибыли связано с вариацией выработки продукции на одного работника. На долю прочих факторов, не учитываемых в регрессии, приходится 26, 4 %.

5. Вычисление стандартной ошибки регрессии.

Добавим в таблицу новые столбцы (табл. 2.4):

Таблица 2.4

Номер пред-приятия	X	Y
						137, 85	23, 52
						145, 45	6, 50
						154, 95	438, 90
						139, 75	203, 06
						158, 75	10, 56
						191, 05	15, 60
Сумма							698, 15
Среднее значение	86, 833	154, 333

Стандартная ошибка регрессии:

,

6. Оценку статистической значимости коэффициентов уравнения регрессии проведем с помощью t -статистики Стьюдента.

Гипотеза Н₀: значения a, b статистически неотличимы от нуля.

По таблице значений критерия Стьюдента (Приложение 2) найдем критическое значение для числа степеней свободы и :

.

Определим случайные ошибки параметров a, b (S - стандартная ошибка регрессии):

, ,

Далее вычисляем эмпирические значения критерия Стьюдента:

, .

, поэтому коэффициент а можно считать статистически незначимым. - коэффициент b является статистически значимым.

7. Оценка статистической значимости уравнения регрессии.

Нулевая гипотеза Н₀: уравнение регрессии является статистически незначимым.

Эмпирическое значение:

.

Критическое значение определяется по таблице значений критерия Фишера (Приложение 1) при уровне значимости α = 0, 05 для числа степеней свободы и :

.

Поскольку , то нулевая гипотеза отвергается, и уравнение является статистически значимым.

8. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если примем прогнозное значение выработки , то точечный прогноз прибыли составит:

тыс. ден. ед.