![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Оценка параметров прогнозной модели методом наименьших квадратов
Сущность метода наименьших квадратов (МНК) состоит в отыскании параметров модели тренда, минимизирующих ее отклонение от точек исходного временного ряда, то есть
где
Если модель тренда представить в виде
где
то, для того, чтобы найти параметры модели, удовлетворяющие условию (1.1), необходимо приравнять к нулю первые производные величины S по каждому из коэффициентов Использование процедуры оценки, основанной на МНК, предполагает обязательное удовлетворение целого ряда предпосылок, невыполнение которых может привести к значительным ошибкам. 1. Нормальность. Случайные ошибки (значение случайной компоненты) имеют нормальное распределение. 2. Случайные ошибки имеют нулевую среднюю, конечные дисперсию и ковариации. 3. Дисперсии каждой случайной ошибки одинаковы, их величины независимы от значений наблюдаемых переменных. 4. Отсутствие автокорреляции ошибок, то есть значения ошибок, различных наблюдений независимы друг от друга. 5. Значение наблюдаемых переменных свободны от ошибок измерения и имеют конечные средние значение и дисперсии. В практических исследованиях в качестве модели тренда в основном используют следующие функции: линейную Особенно широко применяется линейная, или линеаризуемая, то есть сводимая к линейной, форма, как наиболее простая и в достаточной степени удовлетворяющая исходным данным. В этом случае при постановке динамической задачи прогнозирования уравнение регрессии имеет вид
где а и b – константы, которые обращают сумму квадратов отклонений фактических значений Используя метод наименьших квадратов, можно составить систему уравнений:
решая которую, получим уже систему нормальных уравнений:
Следовательно,
где b называют коэффициентом регрессии (не путать с коэффициентом корреляции), он характеризует наклон линии регрессии (тангенс угла наклона);
или
где a называют начальным или свободным коэффициентом, он характеризует уровень пересечения линии регрессии с осью ординат y, то есть равен Система нормальных уравнений существенно упрощается, если начало отсчета времени перенести в середину динамического ряда путем преобразования независимой переменной:
тогда для линейной модели и
После того, как определены коэффициенты модели (1.2), точечный прогноз для момента времени tk может быть осуществлен по уравнению регрессии
Рассмотренный механизм метода наименьших квадратов позволяет с необходимой точностью аппроксимировать действительное развитие процесса с помощью полиномиального тренда, то есть представить зависимую переменную y как функцию времени в виде многочлена
где
Оценки параметров
где n – число членов в динамическом ряду. Система (1.4), состоящая из l уравнений, содержит в качестве известных величин Необходимо отметить, что системы для оценивания параметров полиномов невысоких степеней достаточно просты. Обозначим последовательные параметры полиномов как a, b, c, d. Тогда нормальные уравнения для оценивания квадратичной модели [нормальные уравнения для оценивания прямой см. систему (2.3)] примут вид
для параболы третьей степени получим
Поскольку полиномы выше третьей степени при обработке динамических рядов встречаются крайне редко, то нормальные уравнения для них приводить не будем. Составление нормальных уравнений можно упростить, воспользовавшись тем, что величины
Во всех приведенных здесь формулах суммирование производится от t=1 до t=n. Значения сумм табулированы для широкого диапазона величин n. Рассмотрим для примера оценки параметров прямой динамический ряд типовых объектов; соответствующие уровни yt и произведения ytt приведены в табл. 1.1.
Таблица 1.1. Сводная таблица для оценки параметров
В соответствии с вышеприведенными формулами
В соответствии с системой уравнений (2.3) систему нормальных уравнений запишем в виде 2683 = а · 14 + b · 105; 19157= а · 115 + b · 1015. Решение этой системы дает
Уравнение регрессии, следовательно, имеет вид
а точечный прогноз, например, на 2002 год (tk=17) будет равен
Таким образом, собственно экстраполяция дает точечную прогностическую оценку. Интуитивно ощущается недостаточность такой оценки и необходимость получения интервальной оценки, с тем чтобы прогноз, охватывая некоторый интервал значений прогнозируемой переменной, был бы более надежным или, другими словами, более достоверным и точным.
|