![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Парные регрессии, сводящиеся к линейному тренду
Используя метод наименьших квадратов, можно построить практически любые формы нелинейной парной связи. Для этого используют линеаризующие преобразования, так как только линейные по параметрам функции восстанавливаются с помощью МНК. Широко распространены два вида преобразований: натуральный логарифм ln и обратное преобразование I/t. При этом, очевидно, возможно преобразование как зависимой переменной y, так и независимой переменной t(x) или одновременно той и другой. В табл. 2.1. приведены восемь часто встречающихся преобразований парных зависимостей, полученных комбинацией из индивидуальных преобразований зависимой переменной у и независимой переменной t. Качество прогнозирования проверяют на основе уравнения
После вычисления коэффициентов Так, например, простая экспоненциальная кривая (экспонента) определяется уравнением
где e – основание натурального логарифма. Это уравнение можно переписать в другом виде:
или Таблица 2.1. Функции и линейные преобразования
От обеих частей исходного уравнения возьмем натуральный логарифм. Получим или
Параметры Для конкретизации примера используем исходные данные, отражающие изменения количества типовых объектов (табл. 1.1), с учетом линеаризующих преобразований составим новую таблицу (табл. 2.2).
Таблица 2.2. Исходные данные для определения параметров экспоненциальной прогнозной модели
В соответствии с системой уравнений (1.3) систему нормальных уравнений запишем в виде Решение этой системы дает
Уравнение регрессии, следовательно, имеет вид
а точечный прогноз на 2005 г. (
Для линеаризованных выражений также можно найти среднеквадратические ошибки оценок параметров и значений Поскольку уравнение содержит два оцениваемых параметра, то число степеней свободы при расчете квадратического отклонения составит 14–2=12; необходимые для расчета квадратического отклонения разности между фактическими и расчетными значениями логарифмов уровней приведены в табл. 2.3. Сумма квадратов отклонений (в логарифмах) равна 0, 047. В соответствии с выражением (1.5) и
Так как прогноз осуществлялся для
Таблица 2.3. Расчет отклонений от экспоненциального тренда
Для данного примера t -статистика Стьюдента равна 1, 78. Таким образом, Доверительный интервал определится следующим выражением:
что будет соответствовать 129-180 объектам. Часто при прогнозировании тенденций развития техники необходимо определять предельные значения изучаемых переменных, изменяющихся по экспоненте. Такие величины имеют начальные значения Доказано, что финишные участки экспоненциальной кривой хорошо аппроксимируются гиперболической зависимостью
Разделив числитель и знаменатель правой части этого выражения на t, нетрудно заметить, что
Параметр b определяется методом наименьших квадратов после линеаризующей замены переменных согласно табл. 2.1.
|