Уравнения, содержащие модуль

При решении уравнений, содержащих модуль, используется понятие модуля действительного числа. Модулем (абсолютной величиной) действительного числа а называется само это число, если и противоположное число (– а), если . Модуль числа а обозначается .

Итак, . Например, , так как число 3 > 0; , так как число – 5 < 0, поэтому ; , так как (); , так как .

Свойства модулей:

1)

2)

3) ;

4)

5)

Пример. .

Учитывая, что выражение, стоящее под модулем, может принимать два значения и , то данное уравнение сводится к решению двух уравнений: и или и . Таким образом, модульное уравнение имеет два решения и . Сделаем проверку, подставив каждое значение х в условие: если , получим . Если , то .

Ответ: ; .

Пример. .

Это уравнение эквивалентно совокупности уравнений

Ответ: ; .

Пример. .

В данном уравнении несколько модульных выражений. Находим корни всех выражений, стоящих под знаком модуля, приравнивая их к нулю. и . Откладываем полученные значения х на числовой оси, разбивая ее на интервалы:

Если , то данное уравнение примет вид , т.к. в этом интервале, оба выражения под знаком модуля меньше нуля, и, убирая модуль, знак выражения мы должны поменять на противоположный. Решим полученное уравнение:

. Полученное число принадлежит интервалу - решение данного уравнения.

Рассмотрим следующий интервал . Граничное значение можно включить, как в первый, так и во второй интервал, так же как значение можно включить, как во второй, так и в третий. Во втором интервале наше уравнение примет вид: - это выражение не имеет смысла, т.е. на данном интервале уравнение решений не имеет. щих под знаком модуля, приравниваем их к нулю. Находим корнивсех выражений, с

Следующий интервал , уравнение примет вид: . Это число принадлежит рассматриваемому интервалу, значит также является корнем этого уравнения.

Ответ: ; .