Правила Кирхгофа

Рассмотрим применение правил Кирхгофа на примере решения следующей задачи.

Задача 2. В схеме, приведенной на рис., определите ток текущий через амперметр, если R = 10 Ом, внутренние сопротивления источников ЭДС r₁ = r₂ = r₃ = 1 Ом, E₁ = E₂ = E₃ = 3 В.Амперметр считать идеальным.

Решение. Изобразим схему, эквивалентную заданной, указав на ней внутренние сопротивления источников ЭДС, обозначения узлов, направления действия ЭДС, направления обхода контуров и выбранные произвольно направления протекающих токов. Полученная эквивалентная схема содержит два узла, следовательно достаточно записать одно уравнение первого правила Кирхгофа для любого из узлов. Выбираем узел 2.Для этого узла I₁ + I₂ – I₃ =0. Запишем уравнения второго правила Кирхгофа для контуров 2А1 и 1В2 I₁r₁ + I₁r₂ + I₃R = E₁ + E₂ и I₂r₃ – I₁r₁ – I₁r₂ = E₃ – E₁ – E₂. Таким образом, получена система из трех уравнений с тремя неизвестными токами.

Подставим численные значения

Решая систему, получаем значения всех токов: . То, что ток I₂ имеет отрицательный знак означает, что действительное направление тока противоположно выбранному. Таким образом, через амперметр протекает ток .

Следует отметить, что правила Кирхгофа можно использовать не только при анализе цепей, содержащих два или более источников, но и для цепей с одним источником ЭДС. В качестве примера рассмотрим следующую задачу.

Задача 3. Определите общее сопротивление цепи между точками А и В

Решение.

Для решения задачи, как обычно, мысленно подключим к точками А и В источник тока с напряжением U₀.

Из анализа схемы видно, что приведенная цепь имеет скрытую симметрию – она переходит сама в себя при двух последовательных отображениях во взаимно перпендикулярных плоскостях. Следовательно, токи текущие через соответствующие элементы цепи равны. Обозначим через I – токи, текущие через горизонтально расположенные резисторы сопротивлением 2 Ом, а через J – через вертикально расположенные резисторы 2 Ом.

Тогда для контура АСЕ при обходе его по часовой стрелке справедливо уравнение:

,

а для контура ACDB содержащего источник U₀:

.

Решая уравнения, получаем и

Не всегда решение задачи оптимально при использовании правил Кирхгофа. В некоторых случаях ответ более просто можно получить используя метод наложения токов или метод двух узлов.