Акустические колебания в системе резонаторов

Акустический аналог системы, обладающей дисперсией, можно представить себе следующим образом. Пусть имеется бесконечный ряд одинаковых акустических резонаторов объемом V, соединенных трубками объемом u. Пусть ρ – плотность газа, находящегося в системе, а p _n – давление газа в n -ом резонаторе. Уравнение движения массы m газа в соединительных трубках можно получить, предполагая, что в каждый момент времени газ в резонаторах находится в состоянии равновесия. Эти условия позволяют написать, как меняется масса газа в каждой n -ой соединительной трубке:

.

Здесь v _n и v _n–1 – скорости массы газа, заключенного в трубке, соединяющей n -й резонатор с (n –1)-м и с (n +1)-м резонаторами, а S – сечение соединительной трубки. Ясно, что имеется бесконечное число дифференциальных уравнений, описывающих такую акустическую систему. Изменение количества газа, содержащегося в n -м резонаторе, за время dt равно:

ρ (v _n– v _n–1) Sdt.

Если через χ обозначить сжимаемость газа, то

,

где dp _n – изменение давления в n -м резонаторе. Используя это соотношение для исключения скорости из системы дифференциальных уравнений можно получить систему дифференциальных уравнений второго порядка, полностью аналогичных уравнениям, описывающим колебания масс, связанных упругими силами:

.

Если искать решения этой системы уравнений в виде бегущих волн p _n=Aexp[i(ω t – kdn)], где d – период расположения резонаторов в системе, то легко получить дисперсионные соотношения для данной задачи, т.е. найти соотношение, определяющее зависимость частоты ω от волнового числа k:

.

Это соотношение полностью аналогично дисперсионному соотношению для колебаний вязанных упругими силами масс. Отсюда следует наличие максимальной частоты распространения упругой звуковой волны в системе резонаторов. Таким образом, рассмотренная система представляет собой акустический фильтр низких частот.