Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Общая модель твердого тела. Гамильтониан
|
|
В основе наших представлений о твердом теле лежат следующие основные понятия: твердое тело естьсистема многих взаимодействующих частиц, динамика которых подчиняется законам квантовой механики; основой твердого тела является кристаллическая решетка, структура которой зависит от его свойств симметрии. Кристаллическое тело представляет собой совокупность огромного числа атомных ядер и электронов.
Проблему определения собственных состояний такой системы легко сформулировать, но, к сожалению, нельзя точно решить. Стационарные состояния кристалла описываются уравнением Шредингера:
HY (ri, Rk) ЕY (ri, Rk)
с гамильтонианом
Ĥ = Ĥ el+ Ĥ ion+ Ĥ el-ion.
В этом выражении Ĥ el – оператор кинетической и потенциальной энергии электронов, Ĥ ion– оператор кинетической и потенциальной энергии ионов и Ĥ el.ion – оператор, описывающий взаимодействие электонов с ионами.
.
Здесь ri и rj – координаты i -го и j -го электрона, Rk и Rl – координаты k -го и l -го иона или атомного остатка, первый член описывает кинетическую энергию электронов, второй – кинетическую энергию ядер. Оператор Ñ i действует только на координаты электронов ri, а Ñ k только на координаты ядер Rk. Третий член – потенциальная энергия взаимодействия атомных остатков с зарядами Zke и Zle между собой, а Rk и Rl – их координаты; следующий член – потенциальная энергия притяжения ядер и электронов, а последний член – энергия отталкивания электронов. Упрощение сформулированной задачи можно получить, учитывая различие в массах ядер и электронов, т.к. (m/M) < < 1.
Уравнение Шредингера содержит 3 ZN переменных, если через N обозначить число атомов в кристалле, а через Z – число электронов. Так как в 1 см3 содержится примерно 5*1022 атомов, то при Z, равному 10, число переменных составляет 5*1023 см–3.
Ясно, что такое уравнение не может быть решено в общем виде. Это связано не только с техническими вычислительными трудностями, но и с трудностями принципиальными, поскольку современная квантовая механика по существу не имеет аппарата при решении задач для системы с большим числом частиц.