![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Сингонии и кристаллические классы
Проблема классификации кристаллических сред по симметрии состоит в том, чтобы найти такие группы {(R, t)}, в которых бы содержались указанные выше операции и которые были бы совместимы с пространственной периодичностью. Число таких групп 230. Из них 73 группы не содержат частичных трансляций; они называются симморфными.
Точечной группой решетки (голоэдрической группой) называют совокупность операций (R, 0) первого и второго рода, совмещающих решетку саму с собой. Очевидным элементом такой группы является центр инверсии (поскольку всегда существуют вектора трансляций tn и –tn). Далее, если точечная группа решетки имеет ось симметрии C 2, то всегда имеется плоскость симметрии, перпендикулярная этой оси, т.е. существует группа C 2 h ; если имеется ось Cn (n= 3, 4, 6), то точечная группа решетки содержит группу Cnv. Таким образом, для выяснения голоэдрических групп нужно составить список точечных групп, которые имеют:
· а) центр инверсии I;
· b) оси порядка 2, 3, 4 и 6 – C 2, C 3, C 4, C 6;
· c) плоскости отражения sh для C 2 и sv для C 3, C 4, C 6.
Этим условиям удовлетворяют 7точечных групп, называемых кристаллическими системами (сингониями). См табл.2.
Таблица 2. Кристаллические системы – сингонии
В каждой из семи кристаллических систем (точечных групп решетки) находится определенное число типов решеток, которые могут быть простыми (P), базоцентрированными (C), гранецентрированными (F), и объемоцентрированными (I). Поэтому полное количество решеток может быть равно 14 (решетки Браве). Вид элементарной ячейки и возможные типы решеток Браве перечислены ниже.
1. ТРИКЛИННАЯ – Ci. На углы и длины элементарных векторов трансляции не наложено никаких ограничений (из–за отсутствия элементов симметрии, кроме Ci). Решетка примитивная – P; a¹ b¹ g¹ 90о и а ¹ b ¹ c. 2. МОНОКЛИННАЯ – C 2 h . Есть C 2 и плоскость, перпендикулярная оси C 2. Таким образом, одна их трансляций может быть выбрана перпендикулярно двум другим. Поэтому a¹ b¹ 90 о, g= 90 о и а ¹ b ¹ c. Нетрудно видеть, однако, что ячейка этого типа может быть не только примитивной, т.е. атомы могут быть расположены не только в ее вершинах. Элементарная ячейка может быть примитивная – P и базоцентрированная – C. (Элементарной ячейкой называют ячейку, обладающую симметрией решетки и имеющую наименьший объем). 3. ОРТОРОМБИЧЕСКАЯ – D 2 h . Все три элементарных вектора трансляции могут быть выбраны в соответствии с требованиями симметрии, т.е. вдоль ортогональных осей C 2 группы D 2 h . a=b=g= 90 о и а ¹ b ¹ c. Любая грань в элементарной ячейке в этой сингонии может иметь дополнительный узел. Поэтому ячейка может быть примитивной – P, базоцентрированной – C, объемоцентрированной – I, и гранецентрированной – F. 4. ТРИГОНАЛЬНАЯ – D 3 d . a=b=g¹ 90 о и а = b = c. Ячейка – P. 5. ТЕТРАГОНАЛЬНАЯ – D 4 h . a=b=g= 90 о и а = b ¹ c. Ячейка P и I. 6. ГЕКСАГОНАЛЬНАЯ – D 6 h . a=b= 90 о; g= 120 о и а = b ¹ c. Ячейка P. 7. КУБИЧЕСКАЯ – Oh. a=b=g= 90 о и а = b = c. Ячейка P, I, F. ФАКТОР–ГРУППА Если H – инвариантная подгруппа G, то все элементы G можно получить так: G = H+X 2 H+X 3 H+....+XgH. Каждое слагаемое в этой сумме можно рассматривать как элемент новой группы, называемой фактор–группой; обозначается она как G/H. Элементами фактор–группы являются смежные (правые или левые) классы по H: H, X 2 H, X 3 H....XgH. Произведение двух смежных классов также смежный класс: (XiH)(XjH) =Xi (HXj) H=XiXj (HH) =XiXjH=XqH Единичный элемент – H: H (XiH) = (HXi) H=XiHH=XiH. Поскольку подгруппа трансляций T – инвариантная подгруппа пространственной группы G, для описания симметрии кристалла можно ввести понятие фактор–группы G/T:
G = T + ( R 2, t R 2 ) T + ( R 3, t R 3 ) T + ( R 4, t R 4 ) T +..+ ( Rg, t Rg ) T Так как величины трансляций t Ri весьма малы по сравнению с величинами, рассматриваемыми при изучении макроскопических свойств, все дело происходит так, как будто все элементы симметрии пересекаются в одной точке. Тогда операции симметрии E, R 2, R 3 ,....Rg образуют конечную группу, изоморфную фактор–группе, поскольку правила умножения элементов той и другой группы идентичны. Таким образом, фактор–группа изоморфна одной из точечных групп, совместимой с пространственной периодичностью кристалла. Такие точечные группы называются кристаллическим классом. Их существует всего 32. Они перечислены в таблице 3, которая получена простым перечислением возможных для кристалла точечных групп. В первой колонке таблицы дан общий вид возможных точечных групп, допустимых для периодической пространственной решетки, а во втором столбце перечислены возможные точечные группы. Требования инвариантности решетки при поворотах и отражениях R накладывает ограничения на вектора элементарных трансляций a, b, c и углы a, b, g. Возможно, как было установлено, только 7 кристаллических систем (сингоний) или 14 решеток Браве. Они также указаны в самой правой колонке таблицы. Кристаллическую структуру можно получить, если с каждой точкой решетки Браве связать группу атомов, называемую базисом. Если базис состоит только из одного атома (например, в узле решетки), то кристаллическая структура будет обладать высшей точечной группой симметрии, возможной для решетки (ибо атом предполагается сферически симметричным). Такие точечные группы – голоэдрические группы. Распределение кристаллических классов по сингониям дано в таблице 4. В каждой сингонии указано количество симморфных групп, т.е. число пространственных групп, в которых присутствуют только операции баз частичных трансляций (чистые повороты и зеркальные отражения). Таблица 3. Возможные кристаллические классы, изоморфные фактор–группе
Если базис состоит не из одной молекулы и не обладает никакой симметрией, то можно ожидать, что кристалл будет принадлежать к триклинной сингонии и решетка относится к классу C 1, а пространственная группа является самой простой – примитивная решетка P и отсутствие элементов симметрии – такая пространственная группа обозначается C 11 – P 1. Если базис имеет центр инверсии, т.е. симметрию Ci, то структура будет относиться к триклинной сингонии, но кристаллический класс будет иметь центр инверсии (см. рис 3). Таким образом, кристаллический класс будет Ci, а пространственная группа Ci 1 -P 1. Итак, пространственная группа получается последовательным выбором одной кристаллической системы (сингонии), одного типа решетки Браве, одного типа кристаллического класса и одного типа частичных трансляций tR для каждого элемента симметрии. Итак,
Кристаллическая система – сингония – (7 типов) ß 1 тип решетки Браве (14 типов) ß 1 тип кристаллического класса (32 типа) ß 1 тип выбора частичной трансляции tR для каждой операции группы R ß Пространственная группа (230 групп).
Примеры некоторых простейших групп приведены на рисунках 3–8.
Таблица 4.
|