Уравнение Матье и зонная структура

Распространение волн в сплошной среде с перио­дической структурой, приводит к появлению некоторых общих результатов, связанных с периодичностью решений по волновому вектору и, следовательно, к многозначности решений. Наиболее известным из этого круга задач является случай одномерной структуры, для которой уравнение распространения волны в упругой периодически промодулированной среде, показанной на рис. 15, выглядит так:

,

где F (x) – некоторая периодическая функция, характеризующая либо периодическую модуляцию плотности ρ среды, либо ее упругих свойств C ₁₁. Это уравнение, предполагая гармоническое его решение в виде U (x, t) =u (x) exp (iwt), можно свести к следующему уравнению:

, где – скорость звука в упругой среде.

Если предположить, что функция F (х)периодична по х с периодом d и состоит только из одного члена с косину­сом, то уравнение принимает форму уравнения Матье. При этих условиях разложение функция F (х)имеет вид:

F (x)= C ₀+2 C ₁cos 2 π x/d.

Предполагается, что периодическое возмущение мало, так что коэффициент С ₁ очень мал и создает лишь малые поправки к упругим свойствам однородного стержня.

Уравнение Матье можно привести к каноническому виду, производя замену переменной

ξ = π x / d,

благодаря чему возмущающая функция будет иметь период не d, а π. Тогда получаем следующее уравнение для смещения и (ξ):

,

где η = C ₀ ω ² d ² /n²π ²иγ = 2 C ₁ ω ² d ² /n²π ².

Общее решение уравнения Матье имеет вид функции Блоха, поскольку речь идет о решении дифференциального уравнения второго порядка с периодическим потенциалом:

u (ξ) = D ₁ A (ξ) exp(ikξ /π) + D ₂ B (ξ)exp(– ik ξ /π),

где D ₁ и D ₂ – некоторые постоянные, а A (ξ) и B (ξ) – периодические функции с периодом π. Учитывая существующий в решениях временной фактор exp(iω t), получаем, что решение для и (ξ)предста­вляет собой суперпозицию двух волн, распространяющихся в противоположных направлениях, одна из которых затухает, а другая нарастает.

Если рассматривать только одну из этих волн, то можно положить, что

u (ξ) = A (ξ)exp(ikξ /π).

В этом случае предполагается, что решение существует только в виде волны, т.е. что по заданному показателю экспоненты k, принимающему исключительно действительные значения, можно отыскать соответствующее значение частоты ω. Удобнее, однако, поступить наоборот: предполагая частоту заданной, можно определить характеристический показатель экспоненты k. В этом случае показатель экспоненты может оказаться как мнимой, так и комплексной величиной, т.е. равным k=k+ia. Если k – действительная величина, то такое решение соответствует незатухающим гармоническим волнам. Если k – величина комплексная или чисто мнимая, то решение представляет собой затухающие волны.

Области, в которых появляются различные решения уравнения Матье, иллюстрируются на рис. 19, где по оси абсцисс отложена величина η = C ₀ ω ² d ² /n²π ² – аналог собственной частоты системы, а по оси ординат – величинаγ = C ₁ ω ² d ² /n²π ², характеризующая значение периодического возмущения.

Заштрихованным (зеленым) областям соответствуют те пары значений γ и η, для которых величина k – действительное число k, т.е. затухание отсутствует. Остальным областям (красным), напротив, соответствуют те значения параметров η и γ, при которых параметр k чисто мнимый или комплексный, т.е. в этих областях волна затухает.

Применяя терминологию, принятую в физике твердого тела, можно сказать, что не заштрихованные области соответствуют запрещенным зонам (или зонам затухания), а заштрихованные — зонам свободного распространения волн (или зонам пропускания).

Плоскость η, γ на рис. 19 удобно разбить на три области, проведя прямые η =γ и η =–γ, которые удобно принять за новые координатные оси. При неограниченном возрастании η и при условии η > —γ заштрихованные области сужаются, превращаясь в пределе в прямые, параллельные направлению η =—γ. Любая прямая, параллельная оси η пересекает области, соответствующие распространения волн, и области, в которых волны затухают. При этом при увеличении параметра γ, характеризующего величину периодического возмущения, ширина запрещенной зоны быстро увеличивается. При всех η < — γ распространяющиеся волны существовать не могут.

На границах заштрихованных и не заштрихованных областей мнимая часть комплексного числа k=k+ia обращается в нуль, т.е. Im k =0, или a=0.

Ось параметра η, характеризующего частоту волн, соответствует значению параметра γ =0, что имеет место в случае однородной бесконечной среды без периодической модуляции структуры. Положительная полуось η проходит только через заштрихованные области, т.е. запрещенных зон в решении нет. В области, непосредственно прилегающей к оси η, даже при очень малых значениях γ < < η, что соответствует появлению бесконечно малых периодических возмущений, появляются запрещенные для распространения волн области. Две кривые, ограничивающие заштрихованные области, начинаются всегда в точках оси η с абсциссой η = n ², где n – целое.

Рис. 19. Области мнимых (не заштрихованные, красные) и действительных (заштрихованные, заленые) значений экспоненциального показателя k решений уравнения Матье. В заштрихованных областях решение представляет собой незатухающие гармонические волны, которые свободно распространяются в периодически модулированном стержне. Не заштрихованные области рисунка соответствуют комплексным значениям показателя k и тем самым определяют затухающие волны в системе. Важно, что при отсутствии возмущения (γ =0) существуют только незатухающие собственные колебания. При любых, даже незначительных периодических возмущениям, появляются области, в которых существуют затухающие волны, т.е. появляются зоны запрещенных собственных колебаний системы. При росте возмущения запрещенные для распространения области увеличиваются.

На рис. 19 прямая, соответствующая постоянному отношению параметров η /γ = C ₀/2 C ₁, определяет квадраты частот волн в стержне с постоянными значениями параметров C ₀ и C ₁. Пере­мещаясь вдоль этой прямой, можно последовательно попадать в области, соответствующие полосам непропускания или пропускания. Зависимость этой частоты от параметра k представлена на рис. 16, который был получен исключительно при качественном рассмотрении. На границах раздела этих областей параметр k действителен и равен k = π /d, что соответствует границам зон Бриллюэна.

Вместо того чтобы рассматривать, как это делается в слу­чае однородной невозмущенной среды, всю область изменения k, в которой определена непрерывная кривая ω (k)= v _зв k, в случае возмущенной среды удобно ограничиться лишь значениями k, попадающими в первую зону Бриллюэна – π ≤ kd≤ π. Все ветви разрывной кривой ω (k) тогда удобно перенести в эту область и рассматривать многозначную функцию ω (k). Отсюда получается следующий важный результат: если возмущение увеличивается, т. е. если С ₁, растет, то положение разрывов не меняется, но величина этих разрывов возрастает.