Фононы в идеальных кристаллах

Ранее было показано, что квантовомеханическая задача о собственных состояниях кристалла распадается на две задачи: электронную и ионную. Решение задачи ищется в виде y (R, r) =Ф (R, r) j (R) (т.н. адиабатическое приближение), где Ф (R, r) – волновая функция, описывающая движение быстрых электронов в медленно меняющемся поле ядер, а j (R) – волновая функция описывающая движение ядер в ядерном поле, создаваемом электронами. Поэтому в адиабатическом приближении движение электронов и атомных остатков может быть рассмотрено раздельно.

В настоящей главе будут рассмотрены собственные колебательные состояния кристалла. Однако, поскольку атомы кристалла велики (по сравнению с электронами) колебательную задачу можно рассматривать классически, т.е. рассматривать колебания точечных масс, связанных между собой квазиупругими силами (Борн, Карман, 1912).

Простейшим случаем такой задачи является линейная моно- или двухатомная цепочка, атомы которой могут совершать малые колеба­ния вблизи положения равновесия. Рентгеноструктурные данные (рис.18) показывают, что при не очень высоких температурах величина среднеквадратичного смещения атомов (u ²)^1/2 значительно меньше межатомных расстояний в кристалле.22 случае кристалла GaN при 300^оC величина средне-квадратичного смещения атомов из положения равновесия может быть легко оценена из рис. 22.

[(u ²)^1/2 /a ] = (0.1Å /1.96Å)»5%.

Рис. 22. Среднеквадратичные тепловые амплитуды (u ²)^1/2 атомов галлия и азота в кристалле GaN.

Таким образом, приближение малых колебаний действительно может быть использовано, однако оно может оказаться неверным при температурах вблизи точки плавления кристалла.