Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Ход ветвей колебаний в зоне
|
|
Характер решений в предельном случае бесконечно длинных волн, т.е. при k = 0 можно получить из рассмотрения дисперсионного уравнения:
,
Ясно, что амплитуды Ala (k) получаемых решений вещественны (возможно с точностью до постоянного комплексного множителя), когда коэффициенты D ab(k, l, p) однородной системы уравнений для амплитуд вещественны. Но для k = 0 и ka i =p множитель exp [ i k (r m– r n)] в выражении для D равен ±1, и тогда D вещественно, и для предельно длинных и предельно коротких волн амплитуды вещественны. Другой важный случай, когда смещения вещественны, соответствует ситуации, в которой каждый атом решетки является центром инверсии, т.е. когда каждой паре атомов nl и m′ p′ может быть сопоставлен атом m′ ′ p′ такой, что r m′ p′ – r nl=-(r m′ ′ p′ – r nl). В этом случае энергия взаимодействия этих атомов одинакова Ф (m′ –n, l, p′) =Ф (m′ ′ –n, l, p′), и в выражении для D суммирование можно разбить на два полупространства:
,
В этом случае амплитуды Ala вещественны и, следовательно, характеризуют реальные отклонения атомов от положения равновесия.
Строгое рассмотрение хода решений wj (k) при k = 0 представляет некоторые трудности из-за неаналитичности решений при k = 0. Однако, для некоторых ветвей ход зависимостей можно легко понять, ограничившись рядом простых и наглядных соображений. Положим в уравнении для амплитуд
,
величину волнового вектора и частоту, равной нулю: k = 0 и w= 0. Тогда
или 
и имеется решение Apb (0) =Ab (0), для которого вещественные амплитуды одинаковы для всех атомов с номером p, поскольку тогда выполняется:
.
Это является следствием свойств потенциальной энергии кристалла, поскольку сумма
автоматически равна нулю из-за инвариантности потенциальной энергии кристалла относительно произвольных смещений вдоль трех ортогональных осей x, y, z, т.е. для a = x, у, z. Поэтому есть три ветви, для которых при k = 0 частота ω = 0. Эти три ветви называются акустическими ветвями.
Решения для остальных ветвей в принципе ясны из одномерного случая, но осуществить решение для трехмерного случая не так просто. С другой стороны, именно для трехмерного случая есть смысл делать расчеты, чтобы сопоставить их с экспериментом. Вообще говоря, при решении подобных задач нельзя ограничиться взаимодействием только с ближайшими соседями. Например, для ионных кристаллов потенциал взаимодействия спадает с расстоянием очень медленно, как 1 /r. В ряде случаев важен учет деформации ионов при колебаниях. Это особенно важно учитывать в гомополярных кристаллах, поскольку колебания атомов могут деформировать электронную плотность на ковалентных связях. Тем не менее, с появлением доступной мощной вычислительной техники в последние годы появилось много расчетных программ для решения подобных задач. Необходимо отметить, что решение дисперсионного уравнения нет необходимости проводить для всех различных значений волнового вектора k в зоне Бриллюэна. Поскольку зона Бриллюэна обладает симметрией прямой решетки и еще центром инверсии, можно найти так называемый неприводимый элемент зоны, который при применении различных операций симметрии позволяет получить всю зону. Для кубической решетки таким неприводимым элементом зоны является 1/48 часть первой зоны Бриллюэна.
Решение колебательной задачи в виде плоской волны uln a= Ala exp[ i (wt – kr n)], где частота w может принимать N значений в 3 s ветвях wj (k), указывает, что каждый атом совершает ряд движений с разными частотами. Как и в случае молекулы, можно найти систему координат, в которой и кинетическая и потенциальная энергия системы принимает квадратичную форму, а смещения частиц описываются нормальными координатами. Оставляя вопрос о нахождении такого преобразования до следующего параграфа, заметим, что совокупности смещений, образующие нормальные координаты, должны преобразовываться по неприводимым представлениям каких-либо точечных групп. Для k =0 (центр зоны Бриллюэна, точка Г), эта группа – фактор-группа кристалла, изоморфная точечной группе симметрии кристалла. Для остальных точек зоны Бриллюэна точечная группа, по неприводимым представлениям которой преобразуются нормальные координаты с k ¹ 0, определяется симметрией соответствующей точки зоны Бриллюэна. Например, в кубической решетке точки Г обладает голоэдрической симметрией решетки Браве m 3 m, точка X – симметрией 4 /mmm, точка L – 3 m и т.д.