![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Поперечные и продольные оптические колебания
Оптические колебания при k ® 0 соответствуют движению соседних (различных) частиц в противофазе, причем центр тяжести при колебаниях покоится на одном месте, поскольку можно показать, что уравнение движения SmkAk= 0. Отсюда следует, что если кристалл содержит две частицы с противоположными зарядами (как в NaCl), то при оптических колебаниях в каждой элементарной ячейке может возникать дипольный момент, и такое колебание будет взаимодействовать со светом. Именно поэтому такие колебания называются оптическими. В приближении бесконечно длинных волн (k » 0) кристалл поляризуется однородно и, следовательно, поляризация кристалла может быть описана макроскопически. В акустической ветви в волне с k = 0 все частицы движутся в фазе, и эффективная масса единицы объема равна плотности среды. Для оптический колебаний необходимо использовать приведенную массу. Если два атома имеют массу m+ и m–, приведенная масса равна m = m+m–/m++m– , а величина m/V, где V – объем элементарной ячейки, является аналогом плотности при оптических колебаниях. Пусть относительные смещения положительных и отрицательных ионов друг относительно друга будут w:
где u+ и u– смещения положительных и отрицательных ионов. Вообще говоря, если учесть, что вектор смещения атомов w в волне может быть продольным или поперечным, вклад в поляризацию среды должен учитываться отдельно, т.е. надо учитывать, что w = wt+wl. Более того, в не кубических кристаллах есть два типа поперечных волн Wt=Wt 1 +Wt 2, однако здесь будут рассмотрены только кубические кристаллы. При макроскопическом описании можно написать следующие уравнения для вектора смещенияw и поляризации P: Здесь E – электрическое поле, возникающее из-за колебательного движения заряженных частиц; P – поляризация образца; bij – некоторые коэффициенты, физический смысл которых будет ясен из дальнейшего. Это строгие макроскопические уравнения, справедливые для k » 0, т.е. для длин волн возбуждений l> > a значительно больших постоянной ячейки кристалла. Первое уравнение – просто уравнение движения частиц: член b 11 W – упругая механическая сила; член b 12 Е – электрическая сила (сила Кулона), действующая на движущиеся заряды. Второе уравнение выражает поляризацию при распространении в среде волн с k » 0. Решение этой системы уравнений нужно искать в виде функций Блоха, поскольку речь идет о решении задачи в периодическом потенциале:
Подстановка этих решений в систему уравнений дает:
Из первого уравнения следует:
Поскольку D=E+ 4 pP=eE, то
Из соображений размерности величина –b 11 =wо 2 представляет собой константу, описывающую резонансную частоту среды. Действительно, поперечные частоты системы находятся как полюсы диэлектрической проницаемости среды e (т.е. e® ¥). Таким образом, – b 11 =wТО 2. Для очень высоких частот, когда w> > wTO, поляризация решетки определяется только электронной поляризацией среды и e = e¥ = n 2. Поэтому
При низких частотах, когда w< < wTO, поляризация среды определяется как электронной, так и ионной частью. При этом диэлектрическая постоянная e =eо и
Используя выражение для b 12 b 21, выражение для диэлектрической проницаемости можно записать следующим образом: Это дисперсионная формула для диэлектрической проницаемости (рис. 37).
Рис. 37. Диэлектрическая проницаемость e (w) и коэффициент отражения R (w) кристалла вблизи одиночного резонанса на частоте wTO без учета затухания (сплошная кривая) и при учете конечного затухания (пунктирная кривая). Она хорошо описывает поведение e в широкой области частот. Исключением является только область w» wTO, поскольку при w =wTO диэлектрическая проницаемость стремится к бесконечности e® ¥. Чтобы это исключить, необходимо учесть затухание. В этом случае уравнение для смещения w выглядит так:
Это приводит к дополнительному члену в знаменателе выражения для диэлектрической проницаемости: Комплексность e означает поглощение энергии при w®wTO. Данная формула, конечно, справедлива не только для кристаллов, но и для жидкости. Например, для кристалла NaCl: eo= 5.62, e¥ = 2.25 =n 2; для воды Н 2 О: eо= 81, e¥ =n 2 = 1.3222.
|