Решение задач векторным методом

При решении геометрических задач векторным методом нужно от геометрической постановки задачи перейти к ее векторному описанию. Затем, пользуясь свойствами векторов и операций над ними, найти некоторые векторные соотношения, отражающие данные и условия задачи, из которых можно получить решение задачи. Рассмотрим несколько примеров.

Задача 1. Доказать, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен ее основаниям.

Рисунок 11.4.1

Пусть M и N – середины диагоналей трапеции ABCD (см. рис. 11.4.1). Покажем, что MN || AD. Для этого достаточно показать, что коллинеарен

Так как M и N – середины отрезков AC и BD, то

Следовательно,

Но коллинеарен вектору , поэтому Тогда

то есть коллинеарен что и требовалось доказать.

Задача 2. Разделить данный отрезок AB в данном отношении m: n, то есть найти точку M AB, такую, что AM: MB = m: n.

Рисунок 11.4.2

Очевидно, что M AB делит отрезок AB в заданном отношении m: n тогда и только тогда, когда Кроме того,

Отсюда

Подставляя в исходное соотношение, имеем

откуда находим

В частности, если M – середина отрезка AB, то m = n, и получим

Если точки A и B заданы своими координатами в некоторой декартовой системе координат то, используя формулу, можно легко найти координаты точки M в той же системе координат. Векторное равенство равносильно числовым равенствам

где и – координаты концов отрезка AB, а x и y – координаты искомой точки M.

В частности, когда точка M является серединой отрезка AB, получаем