Определение непрерывности функции в точке и на отрезке

Определение предела функции в точке по Гейне

Определение предела функции в точке по Гейне. Число b называется пределом функции у = f (x) при х, стремящемся к а (или в точке а), если для любой последовательности { x _n}, сходящейся к а (стремящейся к а, имеющей пределом число а), причем ни при каком значении n х _n ≠ а, последовательность { y _n = f (x _n)} сходится к b.

Данные определения предполагают, что функция у = f (x) определена в некоторой окрестности точки а, кроме, быть может, самой точки а.

Указанный предел обозначается так:

Определение непрерывности функции в точке и на отрезке

Определение. Функция f(x), определенная в окрестности некоторой точки х0, называется непрерывной в точке х0, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.

Тот же факт можно записать иначе:

Определение. Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х0, но не является непрерывной в самой точке х0, то она называется разрывной функцией, а точка х0 – точкой разрыва.
Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке х = х0, если приращение функции в точке х0 является бесконечно малой величиной.

f(x) = f(x0) + a(x)

где a(х) – бесконечно малая при х-> х0.
Определение. Функция f(x) называется непрерывной на интервале (отрезке), если она непрерывна в любой точке интервала (отрезка).При этом не требуется непрерывность функции на концах отрезка или интервала, необходима только односторонняя непрерывность на концах отрезка или интервала.