Пифагорейская математическая модель и ее место в философии и в науке.

Так что же означает греческое слово математика? Самое любопытное следующее — если мы спросим себя, как наиболее точно переводить слово математика на русский, то это будет слово " наука", оно указывает на то, что учат, чему обучают. И, как сообщают поздние источники, есть какие-то области знания, которые могут быть усвоены самостоятельно, и есть какие-то знания, математика, которые требуют процесса обучения, наставления. Опять же, это отсылка к Пифагорейскому сообществу, в частности,... в своей пифагорейской жизни рассказывал историю о том, что члены пифагорейского сообщества делились на две группы: перифирийная, " слушатели", им сообщали только набор правил поведения, в виде правил, что нужно, и что нельзя делать, и им не объясняли, как это делать. И математиков, " наученных", которым обучение передавалось в полном объёме. Вот контекст.

Итак, термин связывают с пифагорейцами. Этот термин закрепляется в переходе от Платона к Аристотелю, это рубеж 5 и 4 веков, и оказывается, что он закрепляется за некоторой группой дисциплин, которые упорно представляют как круг дисциплин, которыми занимались пифагорейцы. Некоторые источники называют две дисциплины: арифметика и геометрия. Кроме того, в текстах того же Платона таких дисциплин оказывается 4: добавляются астрономия и музыка. В результате получается 4 дисциплины. Причём, хотя в гр. различных текстах можно найти разные варианты, но основная, самая известная и закрепившаяся, именно эта структура, теснейшим образом взаимосвязана. Эти четверка дисциплин в средних веках, с лёгкой руки Байерса, получила название квадривиума, четверичного пути. Есть ещё другой термин Байерса: тривиум, тривиально. Когда формировалась средневековая система учёности, была система 7 свободных искусств, 4 указанных и три языковых: грамматика, риторика и диалектика (логика). Это самый первый уровень, тривиальный: тривиум, потом квадривиум, потом другие, боле серьёзные вещи. Эта четвёрка, которая восхадила. к пифагорейцам, просуществовала очень долго.

Что же представляли собой 4 дисциплины, что за ними стояло? Второй вопрос: почему, при чём тут пифагорейцы, почему именно у них появляются.

Начнём с первого вопроса. Что представляли 4 дисциплины в ту пору, и почему они образуют единое целое, почему впоследствии это назвали математикой. Понятно, что музыка это не искусство игры и астрономия это не наблюдение и запись движений тел. Тем не менее, здесь среди всего, что мы называли прикладной математикой, преобладали именно эти.

1. Арифметика. В этот период появляется арифметика. А что, до этого не вычисляли ничего? Вычисляли. Но тут появилась арифметика как некоторая область знания о числах, которая обособила и противопоставила себя практическим вычислениям. Есть логистика: искуство счёта, а арифметика это другое, это учение о числах, которе не связано с практическими задачами вычислений. Какие ещё особенности: греческое слово арифметика происходит от греческого слова арифмос, " число", но это слово имеет некоторые особенности. Хорошо, можно спросить, что греки называли числом? Число — натуральное число, хотя и тут возникают странности: можно обнаружить у того же Евклида, что 1 числом не является. В пифагорейской школе и 2 числом не является, числа начинаются с 3. Первый вопрос: греки других чисел не знали? Рациональные, иррациональные? Эти классифицировались любопытно. Рациональных чисел не было. Дробей не было. Были отношения чисел. При этом отношения не рассматривались как целостные объекты, не ставились в один ряд с числами. Что, иррациональных не знали? Знали, классифицировали, но они возникали как геометрические задачи, как отношения отрезков, это были как задачи отношения отрезков. И когда мы видим, что греки говорят по поводу фигурных, геометрических чисел, надо понимать, что контекст немного другой. Более того, натуральные числа они представляли не совсем так. У Платона терминология плавающая, но арифметику он называет учением о чётном и нечётном. С нашей т. з. чётность особого смысла не имеет, это частный случай делимости. Дело вот в чём, почему у греков было важно: греки представляли числа геометрически, Евклид числа изображал отрезками, но, судя по тому, что говорят историки, такое представление не было первоначальным. Первоначально числа представлялись набором дискретных объектов: для грека не только число, но и кучка и 10 камешков, которые можно по разному расположить. Для них очень характерна задача: если есть число, то какого рода геометрические конфигурации можно представить. Или наоборот: какие числа могут быть представлены в виде определенной фигуры. Эта тема характерна для греческого восприятия числа. Почему учение о чётности: если выложить в ряд, то у чётных разбиение по пустому месту, у нечетных — по объекту. Поэтому чётные числа совершеннее. Кроме того, чётные числа женские... Вообще, есть у пифагорейцев теория о противоположностях. Кроме того, есть разные фигурные числа. И так, число мыслится таким образом, образ геометричен.

2. Геометрия. Здесь попроще, наше представление близко к пифагорейскому, здесь достаточно всё понятно, но тоже были некоторые собенности. Греки больше тяготели к симметрии и правильным конфигурациям. Здесь связь с орнаментами и укладками больше. Пример: как вы думаете, какая теорема фигурирует в числе самых ранних, связанных с Пифагором? Теорема Пифагора, теорема о сумме углов треугольника, ещё одна — теорема о паркетах: если хочется замостить правильными многоуг. паркет, то это можно сделать тремя способами: 3, 4, 6-угольниками. Кроме того: сейчас мы рассматриваем общий треугольник, и потом частые случаи. Греки смотрели наоборот: самый правильный равносторонний, остальное — отклонения. Здесь представление о правильности, симметричности очень важно.

Это понятно, теперь как астрономия с музыкой затесались.

1. Музыка. Упорно рассказывается, что восприятие мира свзано с открытием, которое сделал Пифагор: он открыл музыкальный интервал. Он открыл, что то, хорошо или плохо звучит, зависит от отношения чисел. Открыл базовые интервалы: октаву, кварту и квинту; 1: 2, 2: 3, 3: 4. Идея состоит в том, что музыка — учение о правильных музыкальных интервалах. Связь правильности звучания с отношениями чисел. Опять же, с одной стороны, это прикладная математика, с другой, это арифметика и геометрия (деление струн на части). Музыка в таком понимании достаточно тесно связана.

2. Астрономия. Астрономия, достаточно серьёзная, существовала раньше. В догреческой цивилизации, похоже, минимальная связь наблюдений с объяснениями. Греки начинают с того, что пытаются создать модель мира, описать, как что движется, возникают некие кинематические модели. Эти модели были пронизаны идеей правильности, всё станет подчинено главной фигуре: круг/шар. Действительно, небесные тела двигаются по окружностям, имею шарообразную форму, соотношения орбит подчиненно правильным соотношениям. Это такая правильная картина. Но как астрономия связана с музыкой: согласно Пифагору, вся эта красота как-то звучит, некоторым правильным, прекрасным, образом. Когда речь шла о соотношениях орбит, то они связывались с интервалами. Так или иначе важна идея, что астрономия теснейшим образом связана с музыкой.

Эти 4 дисциплины образовывали связь, воспринимались как единое целое. Понятно, что в разное время возникали на роль претендентов математические науки. Например, оптика, реже механика, но базовая структура оставалась такая.

Несколько слов о следующем вопросе. Как лектор сказал, возникает вопрос: хорошо, квадривиум, да, Пифагор, но с чего вдруг они начали этим заниматься. В первую очередь бросается в глаза, что это не связано с коммерческими, практическими проектами, более того, математика рассматривалась не как решение практических задач. Именно поэтому тут есть музыка и астрономия, потому что отношение к ним особое. Астрономия: почему подлунный мир? выше орбиты луны — неизменный, правильный мир, ниже — область создания и уничтожения, и человек должен был стремиться правильности, отстраняться от практического. Эти науки направлены на то, чтобы вытаскивать из хаоса и.... И последнее, возникает вопрос, каков контекст: зачем? Это вопрос, что представляет собой сообщество, которое создал Пифагор, и это сообщество, хоть и занималось тем, как надо организовать правильную жизнь. Гармония — пифагорейский термин, некое представление о правильном ритме, симметрии. Но, что здесь важно: доминанта была религиозная, и интерес к математике задавался религиозным контекстом. Окажется, что, похоже, этого будет недостаточно. Да, пифагорейское сообщество представляло замкнутый круг, но если бы математика. жила в составе пифагорейского сообщества, то она в составе него бы и погибла, но она начала победоносно шествовать, и это вопрос, который будет нас занимать.