Приложение 3

Методика расчета плавания судна по дуге Большого круга (ортодромии)

I. При расчете ДБК используются формулы:

1. РШ = φ _к – φ _н; 2. РД = λ _к – λ _н; 3. S_лок = РШ · sec К_лок; 4. tg К_лок = ;

5. РМЧ = МЧ_В ± МЧ_А: “–” – если φ _к и φ _н – одноименны;

“+” - если φ _к и φ _н – разноименны;

6. cos D = sin φ _н · sin φ _к + cos φ _н · cos φ _к · cos (λ _к – λ _н); 7. ∆ S = S_лок – D;

8. ∆ S% = ;

9. ctg К_н = cos φ _н · tg φ _к · cosec (λ _к – λ _н) - sin φ _н · ctg (λ _к – λ _н);

10. ctg К_к = -tg φ _н · cos φ _к · coses (λ _к – λ _н) + sin φ _к · ctg (λ _к – λ _н);

11. tg φ _ί = ; 12. D = S_лок - ∆ S; 13. К_н = К_лок + ψ _А;

14. К_н = К_лок + ψ _В; 15. γ = К_к – К_н = ψ _В + ψ _А; 16. tg φ _ί = sin (λ _ί – λ _о) · ctg К_о;

17. tg ; 18. tg φ _ί = cos θ _ί · tg φ _v;

19. φ _v = 90º - К_о; 20. λ _v = λ _о ± 90º.

II. При расчете искомых данных используются таблицы:

1. «Логарифмы чисел», МТ-75 т.2 (с.62÷ 76) или МТ-2000 т.5.44 (с.465).

2. «Логарифмы тригонометрических функций» МТ-75 т.5а (с.93÷ 137).

3. «Натуральные значения тригонометрических функций» МТ-75 т.6а (с.155÷ 199) или МТ-2000 т.5.42а (с.460÷ 461).

4. «Ортодромические поправки направления и расстояния при большом расстоянии» МТ-75 т.23б (с.249÷ 259).

5. «Разность широт и отшествие» МТ-75 т.24 (260÷ 272) или МТ-2000 т.2.19а (с.282÷ 294).

6. «Разность долгот» МТ-75 т.25а (с.273÷ 278) или МТ-2000 т.2.20 (с.296÷ 301).

7. «Меридиональные части» МТ-75 т.26 (с.280÷ 287) или МТ-2000

т.2.28а (с.314÷ 321).

8. «Таблицы для вычисления высоты и азимута» (ТВА-57).

III. Методика расчета плавания судна по ортодромии (ДБК) показана на решении конкретной (типовой) задачи:

Условие типовой задачи:

Судну предстоит совершить переход из т. «А» (φ _н = 20º 00, 0'N, λ _н = 73º 50, 0'W)

в т. «В» (φ _н = 42º 12, 0'N, λ _н = 8º 50, 0'W).

Произвести расчет плавания судна из т. «А» в т. «В» по ортодромии – дуге большого круга.

Решение:

1. Рисуем схему предстоящего плавания судна (см.рис.1)

2. Используя формулы 1÷ 5 производим расчет плавания судна по локсодромии:

1) – РШ = φ к - φ н = 42º 12, 0'N - 20º 00, 0'N = = 22º 12, 0' к N (+1332');   2) – РД = λ к - λ н = -8º 50, 0'W - (-73º 50, 0'W) = = +65º 00, 0' к Е (+3900').   - из т.26 «МТ-75» (с.280÷ 287) (или т.2.28а «МТ-2000» с.314÷ 321)   МЧВ (42º 12') = 2782, 4 МЧА (20º 00') = 1217, 3 РМЧ = 1565, 1

- с помощью таблиц 2 и 5а «МТ-75» по формуле 4 рассчитываем значение «К_лок»

tg К_лок = или:

ℓ g РД (3900')= 3, 59106 т. 2 «МТ-75» (с.62÷ 76)

ℓ g РМЧ (1565, 1) = 3, 19454 (или т. 5.44 «МТ-2000» (с.465))

= ℓ g tg К_лок. = 0, 39652 → из т. 5а «МТ-75» → К_лок. = 68º 08, 0' NE ≈ 68, 1º

- с помощью таблиц 2 и 5а «МТ-75» по формуле 3 рассчитываем значение «S_лок.»:

S_лок. = РШ · sec К_лок. = 1332 · 2, 6849 = 3576, 3 или:

ℓ g РШ (1332') = 3, 12450 → т. 2 (т. 5.44)

ℓ g sec К_лок. (68º 08') = 0, 42893 → т. 5а «МТ-75» (с.93÷ 137)

ℓ g S_лок. = 3, 55343 → по т. 2 обратным ходом → S _лок. = 3576, 2 мили

3. Производим расчет элементов ДБК:

а) расстояния “D” по ортодромии от т. “А” до т. “В” по формуле 6:

+20º 00' +42º 12' +20º 00' +42º 12' +65º 00, 0' к Е

cos D = sin φ _н · sin φ _к + cos φ _н · cos φ _к · cos (λ _к – λ _н)

0, 52394 = 0, 34202 · 0, 67172 + 0, 93969 · 0, 74080 · 0, 42262 из табл. 6 а «МТ-75»

из т. 6 а (обр. вход) = 58º 24, 2' = 3504, 2 мили = D

- по формуле 8 рассчитываем ∆ S %:

∆ S % = 2 % это больше 0, 5 %

а значит плавание по ортодромии выгодно.

Правило знаков:

- если «φ _N», то все функции имеют знак «плюс»;

- если «φ _S», то «sin» имеет знак «минус», а «cos» - знак «плюс»;

- знак «cos ∆ λ» зависит лишь от величины угла, но не зависит от его наименования (∆ λ < 90º → «cos» + и наоборот)

б) начального курса плавания по ортодромии (от т. «А») по формуле 9:

+20º 00' +42º 12' +65º 00' +20º 00' +65º 00, 0'

ctg К_н = cos φ _н · tg φ _к · cosec (λ _к – λ _н) - sin φ _н · ctg (λ _к – λ _н)

0, 78064 = 0, 93969 · 0, 90674 · 1, 10338 – 0, 34202 · 0, 46631 из табл. 6 а «МТ-75»

по т. 6 а (обр. вход) = 52º 01, 4' = К_н ≈ 52, 0º

в) конечного курса плавания по ортодромии по формуле 10:

+20º 00' +42º 12' +65º 00' +42º 12' +65º 00, 0'

ctg К_к = -tg φ _н · cos φ _к · cosec (λ _к – λ _н) + sin φ _к · ctg (λ _к – λ _н)

0, 01573 = -0, 36397 · 0, 74080 · 1, 10338 + 0, 67172 · 0, 46631 из табл. 6 а «МТ-75»

по т. 6 а (обр. вход) = 89º 06, 0' = К_к ≈ 89, 1º

4. Проверяем правильность расчета «D» и «К_н» по формулам их расчетом по «ТВА-57». Такая проверка (расчет «D» и «К_н» по ТВА-57) возможна только при “D < 5400 мили (90º)” для нашего примера:

φ к N	42º 12, 0'	Т (φ к) S (РД)			D = 3504, 2 (ф.) = 3, 504, 3 (ТВА) и Кн = 52º 01, 4 (ф.) = = 52º 01, 5 ' (ТВА), т.е. их расчет выполнен правильно
РД Е	65º 00, 0'		Т (РД)
х N	65º 00, 6'	Т (х)		S (х)
φ н N	20º 00, 0'			Т (р) S (y)
90º + (х~φ н)	135º 00, 6'				Т (у)
Кн	52º 01, 5' NE ≈ 52, 0° → Кн	Т (Кн)		S (Кн)
h	31º 35, 7' (90º - hс) = 58º 24, 3' = 3504, 3 мили → D	Т (h)

5. По формулам 16 и 17 рассчитываем значения «К_о» и «λ _о».

а) -41º 20';

б) +32º 30';

в) φ _н + φ _к = +20º 00' + 42º 12' = + 62º 12';

г) φ _к – φ _н = 42º 12' - 20º 00' = +22º 12'.

tg = sin (φ _н + φ _к) · cosec (φ _к - φ _н) · tg =

= sin 62º 12' · cosec 22º 12' · tg 32º 30' = 0, 88458 · 2, 64662 · 0, 63707 =

= 1, 49147 = 56º 09, 6'

и λ _о = -41º 20' - 56º 09, 6' = -97º 29, 6' = 97º 29, 6' W

или:

(λ _к – λ _н) / 2 = +32º 30' tg = 9, 80419

(φ _н + φ _к) = +62º 12' sin = 9, 94674 из т. 5а “МТ-75”

(φ _к + φ _н) = +22º 12' cosec = 0, 42269

lg tg (-41º 20' - λ _о) = 0, 17362 → т. 5а (обр. вход) → 56º 09, 6'

λ _о = -41º 20' - 56º 09, 6' = -97º 29, 6', т.е. λ _о = 97º 29, 6' W

д) (λ _н – λ _о) = - 73º 50' – (-97º 29, 6') = +23º 39, 6'

ctg K_o = 0, 90695 = 47º 47, 6'

или:

lg tg φ _н (+20º 00, 0') = 9, 56107 из т. 5а “МТ-75”

lg cosec (λ _н – λ _о) (+23º 39, 6') = 0, 39652

lg ctg K_o = 9, 95759 → т. 5а (обр. вход) → 47º 47, 6' ≈ 47, 8º → К_о

т.е. «λ _о» = 97º 29, 6' W, К_о = 47º 47, 6' ≈ 47, 8º

6. Задаваясь значениями «λ _ί »(через 10º) по формуле 16 рассчитываем значения широт промежуточных точек (φ _ί ).

Для промежуточной точки № 1:

tg φ ₁ = sin (λ ί – λ _о) · ctg K_o = sin (67º 29, 6' - 97º 29, 6') · ctg 47º 47, 6' =

=sin 30º · ctg 47º 47, 6' = 0, 5 · 0, 90685 = 0, 45343 → 24º 23, 6'

и т.д. для промежуточных точек №№ 2, 3, 4, 5, 6 или через логарифмы:

lg tg φ _ί = lg sin (λ ί – λ _о) + lg ctg K_o

Данные расчетов сводим в таблицу 1:

Табл.1.

7. Рассчитываем по формулам 19 и 20 координаты «вертекса»:

φ _v = 90º - К_о = 90º - 47º 47, 6' = 42º 12, 4' N

λ _v = λ _о ± 90º = 97º 29, 6' – 90º = 7º 29, 6' W

(в нашем примере координаты т. «В» почти совпадают с координатами вертекса).

8. По формуле 18 проверяем правильность расчета координат промежуточных точек 1÷ 6, выполненного по «λ _о» и «К_о».

Для промежуточной точки № 1:

tg φ ₂ = cos (λ _v – λ _ί ) · tg φ _v = cos (-7º 29, 6' + 67º 29, 6') · tg 42º 12, 4' =

=cos 60º · tg 42º 12, 4' = 0, 5 · 0, 90685 = 0, 45343 → 24º 23, 6'

и т.д. для промежуточных точек №№ 2, 3, 4, 5, 6 или через логарифмы:

lg tg φ _ί = lg cos (λ _v – λ ί) + lg tg φ _v

Данные расчетов сводим в таблицу 2:

Табл.2.

и убеждаемся, что расчеты «φ _ί » выполнены правильно.

1. Нанеся по координатам начальную точку (т. “А”), 6 промежуточных точек и конечную точку (т. “В”) на МНК получим маршрут перехода судна с изменением курса через каждые “заданных” 10º долготы (аналогично можно выполнить расчеты и через каждые 5º долготы, что чаще всего и выполняется).