Задача 3. Проектный расчёт ступенчатого бруса

Для стального ступенчатого бруса (рис. 1.6, а) задана конфигурация и известна внешняя нагрузка.

Требуется:

1. Построить эпюру продольных сил .

2. Составить выражения для нормальных напряжений по всем участкам бруса, используя указанные на схеме бруса значения площадей сечения через неизвестную величину .

3. Установить , составить условие прочности бруса по допускаемым напряжениям. Найти из этого условия требуемое значение при МПа и назначить площади всех участков бруса, соблюдая указанное соотношение между ними.

4. Построить эпюры нормальных напряжений и продольных перемещений , считая модуль упругости МПа. Указать и проверить жёсткость при допускаемом продольном перемещении мм. Если условие жёсткости не удовлетворяется, назначить новые площади сечений.

5. Для опасного сечения бруса вычислить касательные и нормальные напряжения в наклонной площадке, проведённой под углом =45° к оси бруса.

6. Какую силу нужно приложить к свободному торцу бруса, чтобы вернуть его в первоначальное положение?

Исходные значения: м; кН/м; .

Решение

1. Построим эпюру продольных сил .

Вычислим значения продольных силметодом сечений. Данный брус состоит из 3-х участков. Будем рассматривать отсечённые участки для каждого участка, начиная со свободного конца (рис. 1.6, б, в, г). При этом продольную силу в сечении, которая является внутренним усилием, всегда изображаем положительной, т.е. растягивающей рассматриваемый участок.

Уравнение равновесия для отсечённой части каждого участка при растяжении-сжатии представляет собой равенство нулю суммы проекций всех сил на продольную ось (1.1), т. е. .

Записывая это уравнение последовательно для всех участков получим продольные силы для каждого участка:

;

.

По этим значениям построим эпюру (рис. 1.6, д).

2. Выражения для нормальных напряжений

Составим выражения для нормальных напряжений по всем участкам бруса, используя указанные на схеме бруса значения площадей сечения через неизвестную величину .

а б в г д е ж

Рис. 1.6

Нормальное напряжение вычисляем для каждого участка бруса по формуле (1.3) как

.

Получаем ;

.

3. Нахождение и условие прочности

Условие прочности ступенчатого бруса при растяжении-сжатии по допускаемым нормальным напряжениям имеет вид (1.5), согласно которому

. (1.15)

Значит, нужно выбрать из полученных значений нормальных напряжений наибольшее по модулю значение, здесь имеем

. Тогда по (по1.15) получаем .

Из этого условия вычислим требуемое значение и назначим площади всех участков бруса, соблюдая указанное соотношение между ними.

.

Принимаем . Назначим площади всех участков бруса, соблюдая указанные на схеме бруса соотношения между ними:

, , .

4. Э пюры нормальных напряжений и продольных перемещений.

Вычислим значения нормальных напряжений по участкам бруса, используя полученные выше выражения.

;

Откладывая полученные значения от базисной линии, построим эпюру распределения нормальных напряжений по длине балки (эпюру ) (рис. 1.6, е).