Задача 1. Невесомый стержень переменного сечения с площадями A1, A2, A3 и длинами участков a1, a2, a3, жёстко защемлённый по концам

Невесомый стержень переменного сечения с площадями A₁, A_2, A₃ и длинами участков a₁, a₂, a₃, жёстко защемлённый по концам, находится под действием сил P₁ и P₂. Модуль упругости E =2 ^. 10⁵ МПа.

Требуется:

1. Сделать чертеж стержня по заданным размерам в масштабе;

2. Составить для каждого участка бруса в сечении аналитические выражения изменения продольного усилия N, напряжений σ и перемещений поперечных сечений бруса ∆ l;

3. Построить эпюры продольных усилий N, напряжений σ и перемещений поперечных сечений бруса ∆ l;

4. Сделать вывод о прочности стержня при [σ ]= 160 МПа.

Исходные данные:

Решение:

1) Для составления уравнений перемещений отбросим одну из заделок (A). Заменим действие заделки на стержень силой R_A= Х. Т.к. сечение A практически закреплено, то его перемещение ∆ A=0. Запишем принцип независимости действия сил:

Согласно закону Гука:

, где

∆ l_i – перемещение на соответствующем участке;

N _i – усилие, действующее на участке;

l_i – длина участка;

A_i – площадь поперечного сечения участка.

2) Построим эпюру продольных сил. Применим метод сечений (начиная от свободного края).

3) Построим эпюру нормальных напряжений

4) Построим эпюру перемещений поперечных сечений

Начинаем с закреплённого конца, т.е. с точки D

5) Проверка прочности стержня при допускаемом напряжении.

Условие выполняется

.