При розв‘язані задачі рекомендується використовувати наступний алгоритм.

Використовуючи метод інтегрального перетворення Фур‘є знаходиться розв‘язок рівняння теплопровідності з рухомим джерелом теплової дії:

при ;

з початковими: ,

та граничними умовами: ,

де а₀² – коефіцієнт температуропроводності матеріалу елементу, м²/с;

u – швидкість переміщення теплового джерела, м/с;

F_u(x, t) – функція розподілу теплового джерела на поверхні елементу, для джерела теплової дії гаусового типу: ;

Р₀ – потужність в центрі джерела, Вт;

k₀ – коефіцієнт зосередженості, м^-2;

Н, В – товщина та ширина елементу, м.

Т₀ – початкова температура елементу, °С.

Для приведення такої задачі до стандартного вигляду використовується метод заміни змінної: .

Розв‘язок задачі знаходиться по методу інтегральних перетворень Фур‘є: .

Тоді рівняння теплопровідності прийме вигляд лінійного диференційного рівняння першого порядку для функції F(s, t):

,

де ,

.

Отримана система розв‘язується методом Бернуллі: .

Далі, використавши зворотне перетворення Фур‘є для функції :

та враховуючи заміну змінної, отримається наступний розв‘язок задачі:

.

Остаточний розв‘язок рівняння теплопровідності має вигляд:

[°С],

де С_v0 – об‘ємна теплоємність матеріалу тонкоплівкового елементу, Дж/м³ К.

Варіанти задачі 7 (денна форма навчання)

продовження таблиці 7 (денна форма навчання)